4. Задача двух тел. Приведенная масса

Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из двух взаимодействующих материальных точек с массами и (рис.5.2). Уравнения движения этих точек можно записать в виде

, (5.30)

Рис. 5.2.

По третьему закону Ньютона .

Вычитая из одного уравнения другое, находим

Это уравнение описывает движение одной материальной точки относительно другой, так как разность есть радиус-вектор, проведенный от первой точки ко второй. Он однозначно определяет положение второй точки относительно первой. Введем обозначение

или , (5.31)

которое называется приведенной массой.

Тогда предыдущее уравнение перейдет к виду

, (5.32)

что формально аналогично второму уравнению Ньютона.

Понятие приведенной массы глубокого физического смысла не имеет. Введение этого понятия позволяет определить относительное движение одной материальной точки относительно другой в ее силовом поле.

Контрольные вопросы

1. Что называется центром масс системы материальных точек?

2. Что называется механической системой?

3. Какие системы называются замкнутыми?

4. Является ли Вселенная замкнутой системой? Почему?

5. В чем заключается закон сохранения импульса? В каких системах он выполняется? Почему он является фундаментальным законом природы?

6. Обобщите закон сохранения импульса для случая релятивистских движений.

7. В чем заключается постоянство скорости центра масс замкнутой системы?

8. На тележке стоят два бака, соединенные между собой в нижней части трубкой с краном. Один из баков наполнен водой. При открывании крана вода переливается в пустой бак. Будет ли при этом двигаться тележка? Когда она остановится? Трение между тележкой и землей не учитывать.

9. Зенитный снаряд разрывается на высоте h от земли на большое число осколков, имеющих одинаковую начальную скорость и равные массы. Найдите расстояние между двумя осколками, лежащими на прямой, проходящей через центр инерции всей системы и образующей угол с вертикалью, через время после разрыва.

10. Почему удар молотком по тяжелой наковальне, положенной на грудь циркового артиста, оказывается для него безвредным, тогда как такой же удар прямо по телу артиста является гибельным?

11. Приведите примеры проявления закона сохранения импульса.

12. Что такое приведенная масса и в чем смысл введения этого понятия?

Лекция №6. Законы сохранения

Для замкнутой системы тел остаются постоянными три физические величины: энергия, импульс и момент импульса. Соответственно имеются три закона сохранения: закон сохранения энергии, закон сохранения импульса и закон сохранения момента импульса. Второй закон – закон сохранения импульса изучили в предыдущем разделе. Настоящий раздел посвящен рассмотрению остальных двух законов сохранения в механике.

1. Работа

Понятия работы и энергии широко используются в нашей повседневной жизни. Эти понятия тесно связаны друг с другом. Например, говорят об энергичном или работоспособном человеке, или говорят, что «очень устал, очень много работал или энергию затратил и т.д.». Греческое слово «энергия» означает «деятельность». Известно, что работа совершается за счет запаса энергии и, наоборот, совершая работу, можно увеличить запас энергии в каком-либо устройстве. Например, совершая работу при заводе часов, мы создаем запас энергии в пружине, за счет которого затем идут часы.

Пусть при перемещении материальной точки В по некоторой траектории на малый отрезок на эту точку действует сила , направление которой составляет угол с направлением перемещения (рис.6.1).

Рис.6.1

Элементарной работой силы на малом перемещении называется произведение величины этой силы на величину перемещения и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения:

(6.1)

Из определения (6.1) следуют следующие особенности элементарной работы.

1. Элементарная работа – это скалярное произведение силы на малое перемещение, т.е.

(6.2)

Она может быть представлена в виде

, (6.3)

или , (6.4)

где – проекция силы на направление перемещения, – проекция перемещения на направление силы.

Последние формулы показывают, что перемещение тела обусловлено только касательной составляющей силы , которую называют движущей силой. Причем, эта сила должна быть постоянной на элементарном перемещении . Поэтому элементарная работа равна произведению постоянной движущей силы на величину перемещения.

2. Работа – скалярная величина. Она может быть как положительной, так и отрицательной. При 0 90 работа положительна – сила вызывает перемещение тела; при 90 180 работа отрицательна – сила препятствует движению тела; при =90 сила не совершает работы по перемещению тела. Если направления силы и перемещения совпадают ( = 0), то

(6.5)

3. Если материальная точка перемещается под действием нескольких сил, то совершаемая ими работа равна сумме работ всех этих сил.

4. Если работа совершается переменной силой, то следует разделить участок траектории на элементарные отрезки так, чтобы их можно было считать прямолинейным, и сложить элементарные работы, совершаемые движущей силой на каждом из отрезков этого участка:

, (6.6)

где аb – участок траектории.

Из формулы (6.6) вытекает, что полная работа, совершаемая материальной точкой под действием постоянной движущей силы по всей траектории, равна:

(6.7)

5. Работа является количественным выражением действия силы или взаимодействия тел. Поэтому конечное выражение для вычисления работы определяется видом взаимодействия. Например, если на тело действует только сила тяжести, работа, совершаемая телом, равна: Если тело поднимается вверх, то сила тяжести совершает отрицательную работу, если оно опускается вниз, то – положительную работу. Величина работы не зависит от формы траектории, по которой двигалось тело, а определяется лишь тем, насколько выше или ниже находится конечная точка участка траектории по сравнению с начальной.

Силы, работа которых не зависит от формы и длины пути (траектории), а зависит лишь от начального и конечного положения тела, на которое они действуют, называются консервативными. Из этого определения следует, что работа по любому замкнутому контуру для таких сил равна нулю:

=0 (6.8)

К ним относятся все центральные силы, т.е. силы всемирного тяготения (и силы тяжести), силы упругости и др. К неконсервативным силам относятся, например, сила трения скольжения, силы сопротивления движению тел.

Силы трения называют также диссипативными силами, поскольку при наличии в системе материальных точек взаимодействий, осуществляемых этими силами, происходит исчезновение механической энергии и превращение её в тепловую (диссипация – рассеяние, уничтожение).

5. В качестве единицы работы в СИ является джоуль (Дж), который равен работе, совершаемой силой 1 Н на пути 1 м; в СГС-системе – эрг, равный работе, совершаемой силой 1 дин на пути 1 см.

6. Работа, совершаемая в единицу времени, называется мощностью.

Мощность P определяется соотношением , где – работа, совершаемая за время . Подставив вместо выражение (6.2) и приняв во внимание определение скорости, получим .

Таким образом, мощность равна скалярному произведению силы на скорость точки приложения силы.

Единицей мощности является такая мощность, при которой за одну секунду совершается работа, равная одному джоулю. Эта единица называется ваттом (Вт).