2.9 Передаточные функции замкнутых цифровых сау

Передаточная функция разомкнутой цепи

. (2.9.1)

Условием замыкания системы будет уравнение

. (2.9.2)

Решая совместно уравнения (1) и (2), найдём

(2.9.3)

(2.9.4)

Из (3) и (4) можно записать

(2.9.5)

, (2.9.6)

где – передаточная функция замкнутой САУ (главный оператор),

–передаточная функция замкнутой САУ по ошибке.

2.10 Передаточные функции срп (регулятора). Формула Тастина

Передаточная функция определяется выражением

. (2.10.1)

Передаточная функция описывает алгоритм переработки входной последовательности чиселв выходную последовательность. В соответствии с (1) закон (алгоритм) управления имеет вид

В качестве примера рассмотрим типовые регуляторы: ПИ-, ПД-, ПИД- регуляторы, которые в непрерывном времени в общем виде выглядят так:

. (2.10.2)

Операции дифференцирования в непрерывном времени соответствует разность

Тогда передаточная функция дискретного дифференциатора –

(2.10.3)

Операции интегрирования

сопоставляется суммирование. По формуле трапеций получим соответствующее разностное уравнение

. (2.10.4)

Для предыдущего значения

(2.10.5)

Вычитая из (4) (5), получим

(2.10.6)

В отличие от (4) выражение (6) является рекуррентным. (Рекуррентность – свойство последовательности, заключающееся в том, что любой ее член может быть вычислен по значениям предыдущего или нескольких предыдущих членов). Выражение (6), в отличие от (4), требует запоминания только двух последних значений входной переменной. В операторном виде выражение (6) будет выглядеть так:

. (2.10.7)

Дискретная передаточная функция интегратора в соответствии с (7) выглядит следующим образом:

. (2.10.8)

Формула (8) называется формулой Тастина.

Дискретный позиционный сигнал с передаточной функцией определяются выражениями

. (2.10.9)

Помимо дискретной передаточной функции дифференциатора (3), полученной с применением конечных разностей, из формулы Тастина (8) можно получить более точную формулу дифференциатора

(2.10.10)

ПИД-регулятор в непрерывном времени с его передаточной функцией описываются выражениями

. (2.10.11)

ПИД-регулятор в дискретном времени имеет передаточную функцию, записанную с помощью выражений (8)-(10), в виде

. (2.10.12)

Дискретное уравнение ПИД-регулятора можно получить из второго равенства в (12), а именно

. (2.10.13)

2.11 Частотные характеристики цифровых систем

С частотными характеристиками цифровых систем сталкиваются при рассмотрении установившейся реакции дискретной цепи на входной сигнал в виде гармонической решетчатой функции, а также при исследовании устойчивости цифровых систем. Рассмотрим гармоническую решетчатую функцию вида

. (2.11.1)

На рис. 1 представлен график функции (1), где приняты следующие обозначения: – период гармонической функции;– такт счёта. Соответствующие частоты квантованияи гармонической функцииопределяются выражениями

. (2.11.2)

В непрерывных системах для исследования их частотных свойств теоретически рассматривают диапазон частот от нуля до бесконечности, а на практике – в рабочей полосе частот, которая всё

Рисунок 2.11.1 – Гармоническая решетчатая функция

равно является широкой. Определим, в каком диапазоне частот надо исследовать частотные характеристики цифровых систем. Для этого в функции (1) дадим приращение частоты величиной , где– целое число.

(2.11.3)

Примечание: цифра над равенством указывает на то, что преобразование осуществлено с использованием формулы (2).

Сравнивая выражения (1) и (3), приходим к выводу, что при функцииисовпадают. Отсюда можно заключить, что для исследования частотных свойств цифровых систем достаточно рассмотреть диапазон частот от нуля до.

В непрерывных системах для получения частотных характеристик надо в передаточную функцию сделать подстановку . В цифровых системах для получения частотных характеристик надо в передаточную функцию сделать подстановку

. (2.11.4)

В результате получим

, (2.11.5)

где – АЧХ и ФЧХ цифровой системы;

– действительная и мнимая части АФЧХ.

На основании (3), (5) можно заключить, что все частотные характеристики достаточно рассмотреть в диапазоне частот от нуля до . Построение АФЧХ, АЧХ и ФЧХ производится в функции частоты. Построение ЛАЧХ и ЛФЧХ производится, как правило, в функции псевдочастоти, т.к. при этом сохраняются асимптотические свойства ЛАЧХ. Для перехода к псевдочастотам применяется-преобразование по зависимостям

. (2.11.6)

(См. аппроксимацию Тастина (2.10.10)). Переходя к частотной функции заменой (4), получим

, (2.11.7)

где – относительная псевдочастота.

Для получения абсолютной псевдочастоты используют зависимость

. (2.11.8)

При достаточно малом можно записать

, (2.11.9)

т.е. при достаточно малом абсолютная псевдочастота совпадает с несущей частотой(с частотой гармонического сигнала), т.е. при достаточно маломчастотные характеристики цифровых и непрерывных систем близки.