- •Основы теории автоматического управления
- •Содержание
- •Предисловие
- •Введение
- •0 Общие сведения о системах управления
- •Принцип действия и функциональная схема сау.
- •0.1 Классификация сау
- •0.1.1 Классификация сау по принципу действия
- •0.1.2 Классификация сау по характеру изменения выходной переменной
- •0.1.3 Классификация сау по математическому описанию
- •1 Линейные системы управления
- •1.1 Линеаризация нелинейных уравнений
- •1.2 Две формы записи линейных дифференциальных уравнений
- •1.3 Классификация динамических звеньев
- •1.4 Динамические характеристики звеньев
- •1.4.1 Временные динамические характеристики
- •1.4.2 Частотные динамические характеристики
- •1.5 Типы соединения звеньев в сау
- •1.5.1 Последовательное соединение звеньев
- •1.5.2 Параллельное соединение звеньев
- •1.5.3 Встречно-параллельное соединение звеньев
- •1.6 Основные правила преобразования структурных схем
- •1.7 Передаточные функции замкнутых сау
- •1.8 Устойчивость движения непрерывных линейных сау
- •1.8.1 Корневые критерии устойчивости
- •1.8.2 Коэффициентные (алгебраические) критерии устойчивости
- •1.8.2.1 Критерий о необходимых условиях устойчивости
- •1.8.2.2 Критерий Рауса-Гурвица
- •1.8.3 Частотные критерии устойчивости
- •1.8.3.1 Критерий Михайлова
- •1.8.3.2 Критерий Найквиста
- •1.8.3.3 Применение критерия Найквиста к системам с чистым запаздыванием
- •1.8.3.4 Логарифмический критерий Найквиста
- •1.8.4 Построение областей устойчивости сау
- •1.9 Оценка качества регулирования
- •1.9.1 Показатели точности сау
- •1.9.1.1 Типовые регуляторы
- •1.9.1.2 Определение показателей точности сау
- •1.9.2 Определение показателей качества переходных процессов
- •1.9.3 Определение показателей качества по корням характеристического уравнения
- •1.9.4 Интегральные показатели качества
- •1.9.5 Частотные показатели качества
- •1.10 Методы повышения точности сау
- •1.10.1 Повышение точности за счёт увеличения коэффициента передачи разомкнутой цепи
- •1.10.2 Повышение точности за счёт увеличения степени астатизма
- •1.10.3 Повышение точности за счёт введения в закон управления производной от ошибки или гибкой обратной связи
- •1.10.5 Повышение точности за счет применения неединичных ос
- •2 Цифровые системы управления
- •2.1 Функциональная схема сау и её циклограмма работы
- •2.2 Аналого-цифровые и цифро-аналоговые преобразователи
- •2.3 Понятие о решётчатых функциях и разностных уравнениях
- •2.4 Z-преобразование (дискретное преобразование Лапласа)
- •1) Свойство линейности.
- •2.5 Решение линейных разностных уравнений
- •2.6 Передаточные функции цифровых систем управления
- •2.7 Вычисление дискретной передаточной функции звена или группы звеньев по непрерывной передаточной функции
- •2.8 Системы с экстраполятором нулевого порядка
- •2.9 Передаточные функции замкнутых цифровых сау
- •2.10 Передаточные функции срп (регулятора). Формула Тастина
- •2.11 Частотные характеристики цифровых систем
- •2.12 Теорема Котельникова
- •2.13 Устойчивость движения цифровых сау
- •2.14 Порядок синтеза цифровых систем управления
- •3 Нелинейные системы автоматического управления
- •3.1 Основные нелинейные звенья
- •3.2 Структурные преобразования сау
- •Статические характеристики нелинейных систем.
- •3.3 Понятие о фазовом пространстве и фазовых траекториях
- •3.4 Особенности динамики нелинейных систем
- •3.5 Исследование устойчивости методами Ляпунова
- •3.5.1 Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости
- •3.5.2 Теорема Барбашина-Красовского
- •3.6 Исследование устойчивости методом фазовой плоскости
- •3.7 Критерий абсолютной устойчивости в.М. Пóпова
- •3.8 Гармоническая линеаризация
- •Идея гармонической линеаризации
- •Методика исследования предельных циклов с помощью метода гармбаланса
- •4 Элементы современной теории управления
- •4.1 Модальное управление
- •4.2 Запись дифференциальных уравнений в пространстве состояний
- •4.3 Описание работы двигателя постоянного тока (дпт) независимого возбуждения (нв) в пространстве состояний
- •4.4 Модальное управление в пространстве состояний
- •4.5 Динамические фильтры
- •4.6 Система управления с динамическими фильтрами
- •4.7 Редуцированные наблюдатели
- •4.8 Наблюдение объектов, подверженных действию возмущений и погрешностей датчиков (оценка внешних возмущений и погрешностей датчиков)
- •4.9 Использование наблюдателей для построения робастных систем управления
- •4.10 Асимптотическое дифференцирование с помощью наблюдателей
- •4.11 Заключение раздела 4
- •Литература
- •Приложение а Свойства комплексных функций
1.10 Методы повышения точности сау
Будут рассматриваться следующие методы повышения точности:
увеличение коэффициента передачи разомкнутой цепи;
повышение степени астатизма;
применение регулирования по производным от ошибки или с помощью гибких обратных связей (ОС);
применение комбинированного управления;
применение неединичных ОС.
1.10.1 Повышение точности за счёт увеличения коэффициента передачи разомкнутой цепи
(См. подраздел 1.7 «Передаточные функции замкнутых САУ» и пункт 1.9.1 «Показатели точности САУ»).
Согласно (1.9.1.7) ошибка статической системы в установившемся режиме
, (1.10.1.1)
где – коэффициент передачи разомкнутой цепи, – постоянные задающее воздействие и нагрузка. Из (1) видно, что для повышения точности необходимо увеличить . Однако при повышенииувеличиваются перерегулирование, колебательность, время переходного процесса и уменьшаются степень устойчивости, затухание за период, запасы устойчивости по амплитуде и фазе и система подходит к границе устойчивости. Покажем это.
Пусть передаточная функция прямой цепи
, (1.10.1.2)
а система замыкается единичной обратной связью. Тогда характеристическое уравнение замкнутой системы получится из равенства и будет иметь вид
. (1.10.1.3)
Необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости замкнутой системы определятся неравенствами
. (1.10.1.4)
Из последнего неравенства в (4) следует, что при увеличении коэффициента передачи система потеряет устойчивость.
Значение , при котором система выходит на границу устойчивости, называетсякритическим коэффициентом передачи разомкнутой цепи.
1.10.2 Повышение точности за счёт увеличения степени астатизма
(См. пункт 1.9.1 «Показатели точности САУ»). Увеличение степени астатизма приводит к тем же изменениям показателей качества, что и увеличение коэффициента передачи. Поэтому степень астатизма системы должна быть ограниченной.
Покажем это на простом примере. Пусть управляемая система описывается уравнением
, (1.10.2.1)
где – масса, – коэффициент регулятора, – координата, – управление.
ПД-регулятор задается выражением
. (1.10.2.2)
В (2) – постоянные коэффициенты. Характеристическое уравнение для системы (1), (2) имеет вид
,
где – оператор дифференцирования. Необходимыми и достаточными условиями асимптотической устойчивости системы (1), (2) являются условия
. (1.10.2.3)
ПИД-регулятор задается выражением
. (1.10.2.4)
В (4) – постоянные коэффициенты. Характеристическое уравнение для системы (1), (4) имеет вид
.
Необходимыми и достаточными условиями асимптотической устойчивости системы (1), (4) являются условия
. (1.10.2.5)
Как видно из (5), при достаточно большом или система (1), (4) может оказаться неустойчивой.
1.10.3 Повышение точности за счёт введения в закон управления производной от ошибки или гибкой обратной связи
Сами эти мероприятия не изменяют стационарные составляющие ошибки системы. Однако они увеличивают запасы устойчивости, а это, в свою очередь, позволяет увеличить коэффициент передачи разомкнутой цепи и (или) степень астатизма. Это приводит к повышению точности.
1.10.4 Повышение точности за счет применения комбинированного управления (см. пункт 0.1.1)
САУ является инвариантной по отношению к воздействию, если после завершения переходного процесса, определяемого начальными условиями, ошибка системы не зависит от этого воздействия. В частности, астатические системы инвариантны по отношению к постоянным воздействиям. Основным методом достижения инвариантности является применение комбинированного управления. Рассмотрим случай, когда дополнительно к регулированию по отклонению (по ошибке ) используется регулирование по задающему воздействию (см. рис. 1).
Рисунок 1.10.4.1 – Комбинированное управление по задающему сигналу
Ошибка системы определяется выражением
, (1.10.4.1)
передаточная функция всей цепи
. (1.10.4.2)
Для того чтобы система была инвариантной, должно выполняться условие
. (1.10.4.3)
Задача: найти передаточную функцию такую, чтобы в установившемся режиме ошибка от задающего воздействия была равна нулю.
Подставляя из (2) в (3), найдём
. (1.10.4.4)
В передаточной функции разомкнутой системы степень полинома знаменателя больше степени полинома числителя, а в функции– наоборот. Поэтому её можно разложить в ряд по степени.
, (1.10.4.5)
где и т.д. – постоянные коэффициенты, т.е. ряд (5) состоит из суммы дифференцирующих звеньев различного порядка. В технических системах обычно собственная частота системы управления гораздо ниже частоты помех. При дифференцировании синусоидального сигнала имеет место соотношение
,
т.е. в результате дифференцирования амплитуда сигнала возрастает пропорционально её частоте. Следовательно, при прохождении сигнала через звено с передаточной функцией (5) амплитуда помех становится существенно выше амплитуды полезных сигналов. Это, при всегда присутствующем ограничении сигналов, может сделать систему неработоспособной, т.е. при наличии дифференцирования в системе ухудшается её помехозащищённость. Поэтому в разложении (5) приходится ограничиваться только первым и, иногда, первым и вторым членами разложения. Вследствие этого достигается инвариантность только по отношению к входному сигналу или.
Рассмотрим задачу обеспечения инвариантности по отношению к нагрузке в системе, изображенной на рис. 2. Будем предполагать, что нагрузка измеряется.
Рисунок 1.10.4.2 – Комбинированное управление по нагрузке
Задача: найти передаточную функцию компенсатора нагрузки , делающую систему инвариантной по отношению к нагрузке.
На выходе сумматора 3 в установившемся режиме должно отсутствовать влияние нагрузки , то есть
откуда
. (1.10.4.6)
Здесь могут возникнуть те же проблемы в отношении помехозащищённости в зависимости от вида передаточных функций и.