3.7 Критерий абсолютной устойчивости в.М. Пóпова

Абсолютная устойчивость – это устойчивость в целом нелинейной системы при задании её нелинейности в определённом классе.

Ниже будут рассматриваться статические характеристики, лежащие в заштрихованных секторах, как это показано на рис. 1.

Таким образом, сама нелинейность не имеет конкретного вида. О ней лишь известно, что она лежит в заданном секторе. Это является существенным достоинством данного метода.

Рисунок 3.7.1 – Зона расположения статической характеристики нелинейного звена

Будем рассматривать следующую систему, представленную на рис. 2.

Рисунок 3.7.2 – Структурная схема нелинейной САУ

На рис. 2 – статическая характеристика нелинейного звена (например, регулятора);

– передаточная функция линейной части системы (например, объекта управления).

Для определения устойчивости по критерию Попова используется следующая частотная характеристика Попова:

. (3.7.1)

Для сравнения приведём АФЧХ линейной части системы:

. (3.7.2)

Рассмотрим вначале случай, когда линейная часть системы устойчива (асимптотически устойчива или находится на границе устойчивости). В этом случае критерий читается так:

Система абсолютно устойчива, если при устойчивости линейной части через точку с координатами можно провести хотя бы одну прямую так, чтобы вся характеристика при изменении частоты от нуля до бесконечности находилась от неё справа.

Рисунок 3.7.3 – Частотная характеристика Попова

Данная прямая называется линией Попова. При обозначении осей на рис. 3 использовано разложение

.

На рисунке 3 представлен случай, когда замкнутая система абсолютно устойчива. На рисунке 4 представлен случай, когда критерий Попова не выполняется, но т.к. этот критерий является достаточным, то его невыполнение ещё не говорит о том, что система не является абсолютно устойчивой.

Рассмотрим теперь случай, когда линейная часть системы сама по себе неустойчива. Для применения критерия в данном случае надо ввести фиктивные цепи. (На рис. 5 показаны пунктиром).

Рисунок 3.7.4 – Частотная характеристика Попова. Случай невыполнения критерия Попова

Рисунок 3.7.5 – Исходная и эквивалентная структурные схемы нелинейной системы

На рис. 5 – фиктивное безынерционное звено. С учётом того, что, на компараторе 3 сигналы, проходящие по фиктивным цепям, взаимно уничтожаются.

Вводятся в рассмотрение фиктивные звенья

,(3.7.3)

С учётом (3) схему, изображённую на рис. 5, можно укрупненно представить в виде схемы, изображённой на рис. 6.

Задача сводится к выбору таким, чтобы звенобыло устойчивым. В этом случае критерий формулируется так:

Рисунок 3.7.6 – Приведённая линейная структурная схема

Система абсолютно устойчива, если через точку с координатами можно провести прямую линию, проходящую слева от характеристики . При этом характеристика должна лежать между прямыми, проходящими через начало координат с коэффициентами крутизныи (рис. 7).

Рисунок 3.7.7 – Область расположения статической характеристики нелинейного звена