1.8.3.2 Критерий Найквиста

Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по АФЧХ разомкнутой системы. Для применения этого критерия система приводится к виду с единичной обратной связью, показанному на рис. 9.

Рисунок 1.8.9

На рис. 9 – задающее воздействие, равное желаемому значению выходной переменной;– ошибка системы;– передаточная функция разомкнутой системы, представленная в виде

. (1.8.3.5)

При таком представлении передаточной функции – коэффициент передачи разомкнутой цепи,–степень астатизма.

При система называетсястатической, при система называетсяастатической первого, второго, … порядков.

Для реальных систем имеет место соотношение

. (1.8.3.6)

Передаточная функция замкнутой САУ имеет вид

. (1.8.3.7)

Для получения характеристического уравнения надо знаменатель приравнять нулю, то есть

. (1.8.3.8)

Подставим в уравнение (8) , где, как и ранее, , – частота. Получим

. (1.8.3.9)

Значение , при котором выполняется условие (9), является корнем характеристического уравнения (8), т.е. , что соответствует границе устойчивости. Нопредставляет собой АФЧХ разомкнутой системы.

Таким образом, если АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до ∞ будет проходить через точку (-1; j0), то система будет находиться на границе устойчивости.

Будем рассматривать две ситуации:

а) система в разомкнутом состоянии устойчива (асимптотически устойчива или находится на границе устойчивости);

б) система в разомкнутом состоянии неустойчива.

Случай а):

Критерий Найквиста. Для того чтобы замкнутая система была асимптотически устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от 0 до бесконечности АФЧХ разомкнутой системы не огибала точку с координатами (-1; j0).

Если АФЧХ будет проходить через эту точку, то замкнутая САУ будет находиться на границе устойчивости.

Если АФЧХ будет огибать точку (-1; j0), то замкнутая САУ будет неустойчивой.

Годографы Найквиста для статической системы () представлены на рис. 10, а для астатической системы ()– на рис. 11.

Рисунок 1.8.10

Рисунок 1.8.11

На рисунках 10, 11: ,

1 – асимптотически устойчивая замкнутая САУ,

2 – гранично устойчивая САУ,

3 – неустойчивая САУ.

Случай б): система в разомкнутом состоянии неустойчива. Тогда критерий Найквиста выглядит так:

Для того чтобы система, неустойчивая в разомкнутом состоянии, была асимптотически устойчива в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от минус бесконечности до плюс бесконечности АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку с координатами (-1; j0) столько раз, сколько корней в правой полуплоскости содержит знаменатель передаточной функции разомкнутой системы. При этом необходимо, чтобы при изменении частоты от минус бесконечности до плюс бесконечности конец вектора поворачивался вокруг точки (-1; j0) против часовой стрелки на угол , где– количество неустойчивых корней в знаменателе передаточной функции разомкнутой системы.

При (одном неустойчивом корне) годограф Найквиста представлен на рисунке 12.

Рисунок 1.8.12