1.9 Оценка качества регулирования

Асимптотическая устойчивость САУ – необходимое, но далеко не единственное условие её работоспособности. Устойчивая система при наличии различных воздействий может оказаться недостаточно точной. Переходные процессы могут продолжаться чересчур долго, может возникнуть большое перерегулирование и т.п.

Комплекс требований, определяющих поведение системы в установившихся и переходных процессах, объединяется понятием качества САУ.

Для определения качественных показателей САУ используются критерии качества, которые могут быть разбиты на группы.

К первой группе относят критерии, использующие для оценки качества величину ошибки в различных типовых режимах. Это критерии точности.

Ко второй группе относят критерии запаса устойчивости, т.е. критерии, устанавливающие, насколько далеко от границы устойчивости находится система регулирования.

Третья группа характеризует быстродействие системы.

К четвертой группе относят комплексные критерии, дающие оценку некоторых обобщённых свойств (точность, запас устойчивости, быстродействие одновременно).

1.9.1 Показатели точности сау

Рассмотрим систему с функциональной схемой, представленной на рис. 0.1. Структурная схема этой системы, после того как она в подразделе 1.7 (рис. 1.7.2) была приведена к единичной обратной связи, имеет вид, изображенный на рис. 1.

Рисунок 1.9.1

На рисунке 1

–задающее воздействие,

–ошибка системы,

–передаточная функция регулятора,

–передаточная функция объекта управления по управляющему воздействию ,

–передаточная функция объекта управления по нагрузке .

1.9.1.1 Типовые регуляторы

Передаточная функция соответствует закону (алгоритму) управления. Типовым законом управления является ПИД-регулятор, которому соответствует алгоритм

. (1.9.1.1)

Алгоритм состоит из позиционного (П), интегрирующего (И) и дифференцирующего (Д) слагаемых.

Широко используются так же П-, ПИ-, ПД- регуляторы.

Составляющая П служит для повышения точности и обеспечения устойчивости движения.

Составляющая И предназначена для повышения точности в установившемся режиме.

Составляющая Д предназначена для улучшения качества переходных процессов.

Д-составляющая вносит в систему тот же эффект, что и трение или вихревые токи, которые рассеивают энергию колебаний.

Передаточная функция ПИД-регулятора в соответствии с (1) имеет вид

. (1.9.1.2)

1.9.1.2 Определение показателей точности сау

В соответствии с (1.7.4) подраздела 1.7 ошибка системы

. (1.9.1.3)

Пусть передаточная функция объекта управления по управляющему воздействию имеет вид

(1.9.1.4)

(статический объект управления).

Пусть также имеет структуру аналогичную (4), но возможно с другими степенями полиномов, т.е.

. (1.9.1.5)

Пусть система асимптотически устойчива, тогда при постоянстве ив ней может присутствовать установившаяся ошибка, отличная от 0. В общем случае в установившемся режиме, но. Тогда в операторном виде можно записать

,

т.е. для получения ошибки в установившемся режиме нужно в выражении (3) положить .

Примечание: неравенство над стрелкой указывает на то, что преобразование осуществлено с использованием этого неравенства.

Рассмотрим случай, когда (П- или ПД-регулятор), и найдём установившуюся ошибку. С учетом того, что

, (1.9.1.6)

из (3) при получим

. (1.9.1.7)

Система, которая при постоянных входных сигналах имеет отличную от нуля ошибку, называется статической системой. Показателем точности статической системы является её статизм

. (1.9.1.8)

Пусть теперь , найдём установившуюся ошибку, устремивк 0.

. (1.9.1.9)

Подставим (9) в (3). Получим

.

Система, которая при постоянных входных воздействиях имеет нулевую постоянную ошибку, называется астатической системой.

Пусть теперь входные воздействия линейно зависят от времени, т.е.

(1.9.1.10)

Запишем (10) в операторном виде. Для этого представим время в операторном виде

.

Тогда из (10) получим

. (1.9.1.11)

Подставим (11), (2), (4), (5) в (3) и положим, что . Тогда, т.е. система оказывается неработоспособной.

Пусть теперь . При очень маленькихбудем иметь

откуда

(1.9.1.12)

Добавление интеграла в закон управления делает систему астатической 1-го порядка. Показателем точности астатической системы 1-го порядка является добротность по скорости

. (1.9.1.13)

Для обнуления ошибки (12) надо в закон управления (1) добавить двойной интеграл. Получится астатическая система второго порядка.

В астатической системе второго порядка показателем точности является добротность по ускорению. Необходимо заметить, что дифференциальная составляющая закона управления не влияет на установившуюся ошибку. Поскольку в выражении (3) присутствует только в произведении , то безразлично, за счёт какого из этих сомножителей формируется астатизм системы.

О статизме и астатизме системы можно судить по передаточной функции разомкнутой системы

. (1.9.1.14)

Если в знаменателе передаточной функции можно выделить множитель , т.е. представить ее в виде

, (1.9.1.15)

где иполиномы (многочлены) от, то призамкнутая система будет статической, при– астатической первого (второго) порядка. В соответствии с (1.7.6) и (15) передаточная функция замкнутой системы по ошибке имеет вид

. (1.9.1.16)

Из (16) следует, что о статизме и астатизме системы можно судить по числителю передаточной функции .