2.2 Аналого-цифровые и цифро-аналоговые преобразователи

В САУ с ЦВМ, как правило, входят АЦП и ЦАП. Процесс преобразования непрерывного сигнала в дискретный состоит из трёх этапов:

1. квантование по времени;

2. квантование по уровню;

3. кодирование.

Квантование по времени связано с последовательностью (очередностью) выполнения математических операций.

Квантование по уровню необходимо для представления информации в цифровом виде. Это квантование производится следующим образом: весь диапазон изменения непрерывной величины разбивается наравных частей

,

где – шаг квантования по уровню (цена младшего разряда). В результате сигнал приобретает ступенчатый вид, показанный на рис. 1.

Кодирование представляет собой преобразование входного сигнала в двоичный параллельный код УЦВМ. Это преобразование осуществляется с помощью триггеров, механическая модель которых показана на рис. 2а. Триггер представляет собой устройство с двумя устойчивыми положениями равновесия. Одному положению

Рисунок 2.2.1

присваивается значение 0, другому – значение 1. Каждому разряду соответствует свой триггер. При перебрасывании триггера из положения «1» в «0» в старший разряд посылается сигнал на переключение соответствующего ему триггера и т.д. На рис. 2б представлена функциональная схема АЦП.

Рисунок 2.2.2 – Функциональная схема преобразователя АЦП

На рис. 2 – непрерывный сигнал, который надо преобразовать в двоичный параллельный код,

& – элемент «И», который срабатывает только тогда, когда на все его входы подаются отличные от 0 сигналы,

ГПИ – генератор последовательности импульсов,

–сигнал обратной связи.

–эталонное напряжение,

–количество разрядов,

–сигналы соответствующих разрядов,

–весовые коэффициенты разрядов.

ЦАП входит составной частью в АЦП. Для многих цифровых систем шаг квантования сигнала по уровню является настолько малым, что эффект квантования по уровню вызывает несущественное влияние и им часто пренебрегают, однако в высокоточных системах его приходится учитывать.

2.3 Понятие о решётчатых функциях и разностных уравнениях

Цифровая САУ получает входную информацию и выдаёт выходную информацию в дискретные моменты времени. Поэтому при исследовании цифровых систем рассматривается их поведение только в дискретные моменты времени , гдетакт счёта,– номер такта счёта. Для этого вводится понятиерешётчатых функций.

Решётчатой называют функцию, которая существует лишь в дискретные равноотстоящие друг от друга значения времени и в промежутках между этими значениями равна нулю.

На рис. 1 сплошными вертикальными линиями показана решетчатая функция .

Непрерывной функции (пунктирная кривая) соответствует одна и только одна решётчатая функция, а одной решётчатой функции соответствует бесконечное количество непрерывных функций.

Рисунок 2.3.1

Часто в цифровых САУ используется безразмерное время. Пусть безразмерное непрерывное время определено выражением

, (2.3.1)

тогда безразмерное дискретное время будет

(2.3.2)

Непрерывные системы обычно описываются дифференциальными уравнениями. Цифровые системы описываются разностными уравнениями. Рассмотрим разностные уравнения и их соотношения с дифференциальными уравнениями. Для операции дифференцирования можно записать

,

т.е. операции дифференцирования с точностью до коэффициента соответствует операция вычитания (разность).

В безразмерном времени разности обозначают так:

– первая прямая разность,

(2.3.3)

– первая обратная разность,

где – оператор «дельта»,– оператор «набла».

Аналогом второй производной по времени являются вторая прямая и обратная разности.

(2.3.4)

.

Аналогично можно получить разности более высоких порядков.

Дискретным аналогом интеграла является полная сумма

. (2.3.5)

Выше была установлена связь между производной и конечными разностями и интегралом и суммой. Дифференциалы и интегралы используются для описания систем в непрерывном времени в виде дифференциальных и интегральных уравнений. Поведение цифровой системы в дискретные моменты времени описывается разностными уравнениями. Разностными уравнениями можно описать и непрерывную систему, но её поведение будет характеризоваться только в дискретные моменты времени. Рассмотрим связь между дифференциальными и разностными уравнениями на примере. Пусть дано дифференциальное уравнение

. (2.3.6)

С помощью полученных выше соотношений составляем разностное уравнение, используя обратные разности

(2.3.7)

или

, (2.3.8)

или

, (2.3.9)

где

. (2.3.10)

Если , то разностное уравнение называетсяоднородным, если , то разностное уравнение называетсянеоднородным.

В общем случае разностное уравнение можно представить в виде

(2.3.11)

(11) – разностное уравнение k-го порядка. Для его решения необходимо знать начальные условия, т.е. значения в предыдущие моменты времени.

Для преобразования дифференциального уравнения в алгебраическое используют оператор дифференцирования . Для решения разностного уравнения путём сведения его к алгебраическому уравнению используют оператор сдвига, так что

и т.д. (2.3.12)

С помощью оператора сдвига уравнение (11) перепишется в виде

(2.3.13)

откуда формально можно записать

, (2.3.14)

где – передаточная функция цифровой системы. Если взнаменатель приравнять к нулю, то получится характеристическое уравнение, соответствующее разностному уравнению (11).

. (2.3.15)