Лекция 3 механика. Часть III

3.1 ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

3.1.1 Центр масс системы материальных точек. Модель абсолютно твёрдого тела

3.1.2 Момент инерции. Теорема Штейнера

3.1.3 Момент импульса

3.1.4 Момент силы

3.1.5 Основной закон динамики вращательного движения.

Некоторые примеры

Вопросы для повторения

3.1 Динамика вращательного движения

3.1.1 Центр масс системы материальных точек.

Модель абсолютно твёрдого тела

До сих пор мы рассматривали вопросы, связанные с кинематикой и динамикой объёктов, размерами которых пренебрегали по сравнению с другими расстояниями, характерными для конкретной задачи (путём, который проходит объект, расстоянием между взаимодействующими объектами и т. д.). Оказывается, что во многих случаях объёкт даже значительных размеров можно рассматривать как набор, совокупность достаточно малых частей, но при этом описывать движение лишь одной точки полученной системы – центра масс.

Пусть имеется система, состоящая из N материальных точек с массами m_i, каждая из которых в данный момент имеет свою скорость , а их положение задаётся радиус-векторами (рис. 3.1). Центром масс системы назовём точку, положение которой определяется радиус-вектором таким, что:

  , (3.1)

где M – суммарная масса системы точек. Продифференцировав правую и левую части формулы по времени и используя определение скорости, получаем выражение для скорости центра масс

  ,

и тогда для импульса системы  можно записать:

  M. (3.2)

Если на каждую точку системы будет действовать своя сила , то для описания того, куда в итоге станет двигаться вся система в целом, не нужно писать N уравнений вида  для каждой точки в отдельности. Достаточно записать одно подобное уравнение для центра масс, решив которое и использовав соответствующие уравнения кинематики, мы сможем предсказать, где окажется центр масс системы в заданный момент времени:

    .

В частности, если масса точек не меняется со временем, можно записать:

 M,

где – ускорение центра масс.

Если система точек, на которые мы мысленно разбиваем тело, движется так, что за равные промежутки времени вектора их перемещений оказываются одинаковыми (и по величине и по направлению), то такое движение тела называется поступательным. Пример: при переносе отрезка AB в положение AB (рис. 3.2) вектора перемещения всех его точек равны (в частности,  ).

Если все взаимные расстояния между точками тела не меняются со временем, такое тело будем называть абсолютно твёрдым.

Помимо поступательного движения точки абсолютно твёрдого тела могут испытывать вращательное движение, при котором оказывается одинаковым угол поворота радиус-векторов всех точек; вектора перемещения этих точек при этом не совпадают по направлению (на рис. 3.2 это перенос отрезка AB в положение AB, при котором  ,  , но  ).

В общем случае движение твёрдого тела в каждый момент времени можно рассматривать как совокупность поступательного движения одной точки (центра масс) и его вращательного движения относительно некоторой мгновенно выбранной оси. Поскольку мы живём в мире, характеризующемся тремя измерениями, удобно рассматривать оба типа движения относительно взаимно перпендикулярных осей: трёх (X, Y и Z), связанных с точкой отсчёта (относительно неё центр масс движется поступательно) и трёх (X, Y и Z), связанных с движущимся центром масс, относительно которых тело вращается (рис. 3.3). В итоге свободно движущееся твёрдое тело может иметь шесть степеней свободы: три поступательных с компонентами линейной скорости центра масс _CX, _CY и _CZ, и три вращательных, с компонентами угловой скорости _X, _Y и _Z относительно проходящих через него осей.