Лекция 7 механика. Часть VII.

ЭЛЕКТРОСТАТИКА. ЧАСТЬ I

7.1 ОСНОВЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ДИНАМИКИ

7.1.1 Законы Ньютона в релятивистской динамике

7.1.2 Энергия тела в СТО. Полная энергия, кинетическая энергия, энергия покоя

7.1.3 Связь энергии и импульса тела. Инварианты к преобразованиям Лоренца

7.2. ЭЛЕКТРОСТАТИКА. ЧАСТЬ I

7.2.1 Закон сохранения электрического заряда и закон Кулона – основополагающие законы электростатики

7.2.2 Напряженность электрического поля. Графическое отображение электрических полей

Некоторые примеры

Вопросы для повторения

7.1 Основы релятивистской динамики

7.1.1 Законы Ньютона в релятивистской динамике

Вопросы, которые мы рассмотрели на предыдущей лекции, касались постулатов, лежащих в основе специальной теории относительности (СТО), и проблем, традиционно относящихся к кинематике поступательного движения (преобразований координат, времён, скоростей). Теперь обратим внимание на проблемы, относящиеся к динамике поступательного движения, и прежде всего, обсудим, в каком виде выполняются в рамках СТО законы Ньютона.

Первый закон Ньютона выполняется полностью, поскольку соответствует первому постулату Эйнштейна: все законы природы выполняются одинаковы образом в инерциальных системах отсчёта.

Второй закон Ньютона справедлив в общем виде:

 , (7.1)

где ,

(здесь m₀ – масса покоящегося тела (масса покоя); с – скорость света в вакууме).

Ранее мы отмечали, что дробь в последней формуле зачастую интерпретируется, как релятивистская масса m тела, движущегося со скоростью :

, (7.2)

Что касается третьего закона Ньютона, то здесь требуются пояснения. Дело в том, что его классическая формулировка, в которой утверждается, что каждое действие носит характер взаимодействия, была выдвинута в то время, когда предполагалось, что взаимодействие переносится в пространстве мгновенно: достаточно что-то изменить в одном месте Вселенной, и в любом другом её месте это изменение можно почувствовать тут же. Но, согласно СТО, никакой сигнал не может распространяться быстрее света, то есть в передаче сигнала всегда есть запаздывание! Так, например, мы чувствуем воздействие далёких звёзд, свет от которых шёл к Земле миллиарды лет. Часть этих звёзд, возможно, уже прекратила существование, и в этом случае мы на них (наша Земля), конечно же, уже не действуем, хотя сами их действие ощущаем и будем ощущать ещё достаточно долго. Таким образом, в третьем законе Ньютона утверждение о том, что всякое действие носит характер взаимодействия, следует воспринимать с учётом запаздывания сигнала о воздействии одного тела на другое.

7.1.2 Энергия тела в сто.

Полная энергия, кинетическая энергия, энергия покоя

По данным ЮНЕСКО, самой известной формулой физики XX века является соотношение

E  mc². (7.3)

В этой формуле m – релятивистская масса, см. (7.2); c – скорость света в вакууме, а E – полная энергия тела, включающая все виды энергии – кинетическую, потенциальную, энергию взаимодействия молекул и атомов, элементарных частиц, из которых они состоят… Фактически, соотношение (7.3) говорит об эквивалентности массы и энергии, в частности, поскольку, согласно закону сохранения полная энергия замкнутой системы не меняется со временем, не должна меняться и релятивистская масса такой системы.

Выражаемая формулой (7.3) связь массы с энергией уже находит практическое применение при создании атомного оружия и построении мирной ядерной энергетики.

Как и в классической динамике, мерой изменения энергии тела является работа, и, учитывая, что работа A, которую требуется совершить с тем, чтобы разогнать тело из состояния покоя до некоторой скорости, численно равна приобретенной при этом телом кинетической энергии W_К, можно получить формулу для кинетической энергии в релятивистской физике.

Если E  mc²  для тела, разогнанного до скорости , то в состоянии покоя (при   0) масса m  m₀ (масса покоя) и полная энергия тела является энергией покоя E₀  m₀c². Согласно определению, W_К  A  E  E₀, или

W_К  mc²  m₀c². (7.4)

Как видим, данное выражение и отдалённо не напоминает формулу вида W_K  , выведенную нами на одной из предыдущих лекций в предположении, что масса ускоряемого тела не меняется со временем. Тем не менее, следует помнить, что правильная теория должна допускать предельный переход от одних формул к другим при изменении соответствующих параметров задачи. В частности, продемонстрируем, что выражение (7.4) принимает вид, известный нам из классической физики, в области скоростей   c. Для этого запишем формулу (7.4) более подробно:

W_К  mc²  m₀c²   m₀c²  m₀c².

Далее используем известное из математики правило разложения в ряд по малому параметру выражение вида (1  x)ⁿ, где ׀x׀  1:

(1  x)ⁿ  1  nx. (7.5)¹

В нашем случае x   (при   c, действительно, ׀x׀  1); а n   ½, то есть

W_К  m₀c²  m₀c²  .

Учитывая, что при   c релятивистская масса m практически равна массе покоя m₀, мы, как и требовалось, получили классическое выражение для кинетической энергии поступательного движения тела постоянной массы.