8.1.4 Теорема Гаусса для электрического поля в вакууме

Как мы уже отмечали, если хотя бы один из взаимодействующих зарядов нельзя считать точечным, равномерно заряженным шаром или сферой, для вычисления силы электростатического взаимодействия используют силовую характеристику поля – его напряженность в данной точке. Зная напряжённость, мы находим силу (  q), действующую на заряд q в этой точке, вычисляем его ускорение, определяем траекторию движения и т. д. Саму напряжённость можно рассчитать, пользуясь принципом суперпозиции, однако в ряде случаев в этих целях удобнее использовать теорему Гаусса.

Введём определение: если каждой точке пространства можно сопоставить некоторый вектор (например, – вектор ), то, выбрав в этом пространстве некоторую поверхность S, можно говорить о потоке вектора через эту поверхность S. Для вычисления потока поверхность S мысленно разбивают на много малых частей dS, каждой из которых сопоставляют вектор , по величине равный площади dS и направленный вдоль вектора нормали к поверхности выбранного участка (во всех случаях – к одной и той же стороне всей поверхности S). По определению потоком вектора через элемент называется скалярное произведение этих векторов: d_A  ()  AdScos, где  – угол между векторами и (см. рис. 8.3.а). Потоком вектора через всю поверхность S (рис. 8.3.б) называется интеграл вида

_A 

В качестве вектора можно выбрать вектор силы (для описания поля сил), скорости (для описания движения частиц в струе жидкости), индукции магнитного поля и т. д. В теореме Гаусса для электрического поля в вакууме говорится о потоке _E вектора напряженности электрического поля , при этом поток считается не через обычную поверхность, а через замкнутую, то есть разделяющую пространство таким образом, что проникнуть из одной его части в другую, не пронзив эту поверхность, невозможно.

Сформулируем теорему.

Поток вектора напряжённости электрического поля через произвольную замкнутую поверхность равен деленной на электрическую постоянную ₀ алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью:

 . (8.9)

Заметим: формула не является альтернативой тексту теоремы, поскольку из (8.9) не следует, что замкнутая поверхность может иметь любую форму (в том числе – такую, которая нам удобна для проведения вычислений); кроме того, глядя на выражение (8.9) невозможно сказать, о каких зарядах q_i идёт речь (учитываются только те, которые охватываются выбранной поверхностью!).

Вывод формул для напряжённости электрического поля с помощью теоремы Гаусса особенно прост в случаях полей, создаваемых симметричными заряженными объектами. Для вывода формул необходимо:

– Начертить рисунок с изображением заряженного тела и силовых линий создаваемого им электрического поля.

– Указать на рисунке точку, в которой мы будем рассчитывать величину напряжённости электрического поля, и провести сквозь эту точку силовую линию.

– Выбрать замкнутую поверхность, форма которой соответствовала бы симметрии задачи; поверхность должна проходить через выбранную точку.

– Посчитать поток вектора напряжённости электрического поля через выбранную поверхность (учитывая взаимную ориентацию отдельных частей поверхности и пронзающих их силовых линий).

– Определить, какой заряд охватывается выбранной поверхностью, после чего применить теорему Гаусса.