3.1.5 Основной закон динамики вращательного движения

Основной закон динамики вращательного движения является аналогом второго закона Ньютона. Согласно этому закону сумма моментов всех сил, действующих на тело, равна скорости изменения его момента импульса:

. (3.14)

Если тело – абсолютно твёрдое, и вращается относительно закреплённой оси (относительно которой его момент инерции равен I), то эта формула приводится к виду:

,

а с учётом того, что, по определению,  , где – угловое ускорение, можно записать:

, (3.15)

или

(3.16)

(предполагается, что ось вращения обозначена как ось Z).

Порядок работы с этой формулой сходен с тем, который используется при решении задач на второй закон Ньютона: изображаем все силы, действующие на тело, выбираем ось вращения, находим проекции моментов сил на эту ось и записываем основной закон динамики вращательного движения для проекций (с учётом их знаков).

Некоторые примеры

• Момент инерции Земли относительно оси вращения в приближении её однородным сплошным шаром – 9,710³⁷ кгм².

• Реальный момент инерции Земли относительно своей оси вращения – 8,010³⁷ кгм².

• Момент инерции лунного модуля корабля «Аполлон» при половинном запасе топлива относительно осей, проходящих через его центр масс – около 33000 кгм².

• Момент импульса Земли относительно своей оси вращения – около 4,210²⁹ кгмс^1.

• Момент импульса Земли относительно центра Солнца (в приближении орбиты окружностью радиусом 1 а. е.) – около 2,710⁴⁰ кгмс^1.

• Собственный (спиновый) момент импульса электрона – примерно 0,910^34 кгмс^1.

• Максимальный момент силы, прикладываемый к ключу дверного замка при его открывании и закрывании не должен превышать 0,6 Н×м (ГОСТ 23306-87).

• Для разрушения большой берцовой кости взрослого человека момент скручивающей силы должен превысить 30 – 140 Н×м.

• Крутящий момент силы затягивания свечей зажигания двигателя автомобиля 10 – 40 Н×м.

• Крутящий момент силы двигателя автомобиля Audi Q7 – до 500 Нм (при 2750 об/мин).

• Крутящий момент силы на выходе зубчатой передачи серии PM (Renold plc) – до 12000 Нм.

Вопросы для повторения

1. Что называется моментом инерции а) материальной точки, б) системы материальных точек, в) тела? Ответ поясните рисунками.

2. Сформулируйте теорему Штейнера. Ответ поясните рисунком.

3. Что называется моментом импульса малого объекта относительно некоторой точки? Ответ поясните рисунком.

4. Что называется моментом импульса малого объекта относительно некоторой оси? Ответ поясните рисунком.

5. . Что называется моментом силы относительно некоторой точки? Ответ поясните рисунком.

6. Что называется моментом силы относительно некоторой оси? Ответ поясните рисунком.

7. Какие точки называются а) центром масс тела, б) центром тяжести тела? В каком случае они совпадают?

8. Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения и запишите соответствующие формулы а) в случае системы точек, б) в случае абсолютно твёрдого тела.

9. Какое тело называется абсолютно твёрдым?

Приведите примеры параметров-аналогов и законов-аналогов в динамике поступательного и вращательного движения.