4.2.2 Кинетическая энергия

Работа является мерой изменения энергии тела или системы тел. В механике рассматриваются два вида энергии: кинетическая и потенциальная.

По определению кинетическая энергия при поступательном движении численно равна работе, которую необходимо совершить с тем, чтобы разогнать тело из состояния покоя до некоторой скорости.

Как видим, определением кинетической энергии W_K является не формула, а «рецепт» её нахождения. Выведем формулу для W_K, воспользовавшись определением.

Приложим к покоящемуся телу массой m постоянную силу ; будем считать, что других сил нет. Тело начнёт двигаться по прямой (направление действия силы не меняется), и в итоге совершит перемещение (при таком движении, очевидно, угол между векторами и равен нулю) и в итоге приобретёт скорость . С учётом формулы второго закона Ньютона совершаемая силой работа записывается в виде

A      .

Если масса тела не меняется в процессе движения, m можно вынести за знак интеграла, и тогда (с учётом того, что первая производная от перемещения по времени называется скоростью), получим:

A  m  m  , или

W_K  . (4.8)

При обсуждении второго закона Ньютона мы уже отмечали, что масса реальных объектов со временем меняется (расходуется горючее, истираются детали и т. д.). При достижении больших скоростей станет заметным увеличение массы тела (см. далее раздел «специальная теория относительности»). Во всех этих случаях, согласно определению, приобретённая телом кинетическая энергия будет равна работе, совершаемой по разгону тела до скорости , однако формула для её расчёта окажется иной, и её вид будет зависеть от закона, по которому масса тела менялась со временем.

Заметим: можно показать, что кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловой скоростью  численно равна работе, которую необходимо совершить с тем, чтобы раскрутить это тело из состояния покоя до данной скорости и выражается формулой

W_K  . (4.9)

Здесь I – момент инерции тела относительно оси вращения.

Если же тело массой m одновременно совершает поступательное движение в некоторой плоскости и при этом вращается с угловой скоростью  относительно оси, проходящей через центр масс тела и сохраняющей свою ориентацию в пространстве, его общая кинетическая энергия рассчитывается по формуле

W_K   . (4.10)

Здесь _C – скорость центра масс тела, I – момент инерции тела относительно оси вращения.

4.2.3 Первая и вторая космические скорости

Рассмотрим пример расчёта работы переменной силы в случае, когда этой сила является результатом гравитационного взаимодействия двух тел. Рассчитаем величину второй космической скорости _2К – такой минимальной скорости, которую необходимо придать телу на поверхности планеты с тем, чтобы после «броска» оно смогло улететь бесконечно далеко (притяжением других планет, звёзд пренебрегаем).

Из школьной программы мы помним, что первой космической называется минимальная скорость _1К, которую необходимо сообщит телу с тем, чтобы после броска оно не упало на поверхность планеты, а двигалось над этой поверхностью по круговой орбите. При таком движении радиус траектории практически равен радиусу планеты R (которую считаем однородным шаром), а центростремительное ускорение a_Ц создаётся силой гравитационного притяжения F (M – масса планеты, m – масса тела), рис. 4.3:

F  ma_ц,

F  G  mg,

a_ц  .

Отсюда получаем: _1К  , что для Земли составляет примерно 7,8 км/с.

Для расчёта второй космической скорости необходимо вычислить работу, которая совершается силой притяжения при перемещении тела с поверхности планеты на бесконечно большое расстояние и учесть, что вся эта работа пойдёт на уменьшение кинетической энергии тела. У поверхности планеты эта энергия должна равняться

W_K1  , а на бесконечности W_K2  0 (тело останавливается, но не падает обратно), то есть W_K2  W_K1   .

Итак, работа силы притяжения:

A        .

Теперь учтём, что A  W_K2  W_K1, и что  g. Получим:

_2К   _1К. (4.11)

Для Земли _2К  11,2 км/с.

Формула для второй космической скорости выводилась в предположении, что на улетающее от Земли тело не действуют никакие объекты, кроме нашей планеты. На деле это не так: для того, чтобы улететь на бесконечно далёкое расстояние следует преодолеть силу притяжения самого массивного объекта Солнечной системы: Солнца. Минимальная скорость, необходимая для этого, называется третьей космической, она составляет примерно 16 км/с. Современные ракетные двигатели пока не способны придать космическому кораблю такую скорость. Поэтому для того, чтобы искусственные аппараты типа «Pioneer» и «Voyager» всё же смогли покинуть пределы Солнечной системы, траектории их полёта выбирались таким образом, чтобы аппараты пролетали мимо планет-гигантов (Юпитера, Сатурна, Урана), которые своими гравитационными полями помогали им преодолеть силу притяжения Солнца.