Лекция 6 механика. Часть VI

6.1 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ (СТО)

6.1.1 Принцип относительности Галилея. Постулаты Эйнштейна

6.1.2 Преобразования Галилея. Неинерциальные системы отсчёта

6.1.3 Преобразования Лоренца

6.1.4 Следствия из преобразований Лоренца

Некоторые примеры

Вопросы для повторения

6.1 Основы специальной теории относительности (сто)

6.1.1 Принцип относительности Галилея.

Постулаты Эйнштейна

Итак, мы отметили, что, все законы природы инвариантны относительно инерциальных систем отсчёта. В классической физике подобное утверждение впервые высказал Галилей: согласно принципу относительности Галилея все законы классической механики не меняются при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой.

Надо сказать, что физика, как наука, началась именно с Галилея: он был первым, поставившим на первое место в научных дискуссиях не умозрительные построения, основанные на чистой логике и «здравом смысле», а результаты реальных измерений. Заметим: во времена Галилея не существовало специальных измерительных приборов, ни научной общественности, с которой можно было бы вести полноценную дискуссию, ни, конечно же, научных журналов. Единственным способом ознакомить общественность со своими взглядами было написание литературных произведений, в канву которых вплетались бы научные дискуссии героев: читатель, следя за сюжетом, поневоле был вынужден знакомиться с их высказываниями (выражающими главные научные идеи автора), спорами, и, в конце концов, сам усвоить эти идеи. Именно в таком ключе Галилеем и была написана в 1632 году книга «Диалоги», в которой был изложен, в частности, принцип относительности. В этой книге автор на различных примерах показывает, что никакими механическими опытами, поставленными внутри движущейся равномерно и прямолинейно системы отсчёта, невозможно определить, движется ли эта система, или покоится.

На 250 лет позже появилась более общая теория, которая получила название специальной теории относительности (СТО)¹. На английском языке слово «относительность» звучит «relativity», и поэтому в литературе по данной тематике часто звучат термины «релятивизм», «релятивистский» и т. д.

В основе СТО лежат два постулата, выдвинутые А. Эйнштейном.

Согласно первому постулату все законы природы инвариантны относительно инерциальных систем отсчёта. Другими словами, никакими опытами (включая всевозможные химические реакции, биологические процессы, физические явления) нельзя определить, движется ли равномерно прямолинейно объект относительно наблюдателя, или это сам наблюдатель движется равномерно прямолинейно относительно объекта: инерциальные системы отсчёта полностью равноценны.

Согласно второму постулату скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных систем отсчёта и не зависит от того, движутся ли источник света и приёмник или покоятся.

Из СТО также следует, что при переходе от описания объекта в одной инерциальной системе к описанию в другой системе, ряд параметров измениться не должен. К числу таких параметров (инвариантов) помимо скорости света в вакууме относятся масса покоя объекта, его электрический заряд и некоторые другие.

Е сли первый постулат обычно воспринимается без возражений (к сходному по формулировке принципу относительности Галилея люди привыкли уже достаточно давно), то второй постулат и связанное с ним утверждение о том, что скорость света в вакууме – максимально возможная скорость в природе до сих пор является достаточно удивительным. Ведь если принять этот постулат, то тут же оказывается, что должно выполняться его следствие: время в разных инерциальных системах отсчёта течёт по-разному!

Рассмотрим пример. Пусть в центре ракеты, движущейся со скоростью относительно земли, установлена лампочка Л, а в салоне на равных расстояниях от этой лампочки – два фотоприёмника ФП-1 и ФП-2 (рис. 6.1). При включении лампы пилот отметит, что оба фотоприёмника срабатывают одновременно, ведь лампа равноудалена от обоих фотоприёмников. Однако наблюдателю, находящемуся на Земле покажется, что это не так: ведь ФП-1 движется навстречу лучу света, и поэтому сработает раньше, чем ФП-2, поскольку луч света движется ему вдогонку. Другими словами, события, являющиеся одновременными в одной системе отсчёта, в другой таковыми не являются, то есть время в этих системах действительно течёт по-разному!

6.1.2 Преобразования Галилея. Неинерциальные системы отсчёта

В классической механике молчаливо предполагается, что ход времени одинаков во всех системах отсчёта. Этот факт нашёл отражение в системе уравнений, которые носят название преобразования Галилея и позволяют перейти от координат тела в одной системе отсчёта к координатам этого же тела в другой системе, движущейся относительно первой.

Рассмотрим простейший случай: система отсчёта XYZ движется равномерно прямолинейно относительно системы XYZ с постоянной скоростью ₀ вдоль оси OX (рис. 6.2). Пусть в начальный момент времени (t  0) все оси координат полностью совпадали. Тогда, согласно законам кинематики, координаты x, y, z некоторой точки А, являющейся неподвижной в системе XYZ, в любой другой момент времени t оказываются связанными с координатами x, y, z этой же точки в системе XYZ следующими соотношениями:

x  x  ₀t

y  y (6.1)

z  z

Очевидно: если бы система XYZ двигалась прямолинейно равномерно относительно системы XYZ произвольным образом, соответствующие преобразования выглядели бы так:

x  x  _0xt

y  y _0yt (6.2)

z  z _0zt,

где _0x, _0y и _0z – компоненты скорости системы XYZ относительно системы XYZ.

Продифференцировав правые и левые части уравнений (6.2) по времени, получим преобразования Галилея для скорости точки А в случае, если она движется равномерно прямолинейно и относительно обеих систем отсчёта:

_x  _x  _0x

_y  _y _0y (6.3)

_z  _z _0z,

Еще одно дифференцирование по времени и учёт того, что _0x, _0y и _0z неизменны, позволяют получить соотношение между компонентами ускорения:

a_x  a_x

a_y  a_y (6.4)

a_z  a_z,

то есть если точка А и начнёт двигаться с ускорением относительно инерциальных систем отсчёта XYZ и XYZ, то это ускорение будет одинаковым в обеих системах. Но поскольку для тела постоянной массы  /m, то это означает, что и сила, вызывающая это ускорение, одинакова в обеих системах отсчёта. Другими словами, мы, вслед за Галилеем, делаем вывод о том, что все явления механики должны протекать одинаково в любых системах отсчёта, движущихся друг относительно друга равномерно прямолинейно или покоящихся.

Если бы система XYZ двигалась относительно XYZ с ускорением , компоненты которого обозначим a_0x, a_0y и a_0z, то для координат, компонент скорости и ускорения точки А следовало бы записать:

x  x  _0xt  a_0xt²/2

y  y _0yt  a_0yt²/2

z  z _0zt  a_0zt²/2

_x  _x  _0x  a_0xt

_y  _y _0y  a_0yt

_z  _z _0z  a_0zt

a_x  a_x  a_0x

a_y  a_y  a_0y

a_z  a_z  a_0z.

Из последних трёх уравнений следует, что для описания поведения точки А в системе отсчёта XYZ, движущейся с ускорением (то есть – неинерциальной) наблюдателю, движущемуся вместе с этой системой, приходится предполагать, что в ней на точку действует добавочная сила  m. Подобные «нереальные» силы, которые приходится вводить в формулы только из-за того, что наблюдатель находится в неинерциальной системе отсчёта, называются силами инерции. Типичный пример силы инерции – «сила», которая «отбрасывает» человека назад при старте автомобиля: человеку, стоящему на тротуаре понятно, что никто пассажира не толкает назад, но самому пассажиру кажется, что его какая-то сила «вжимает» в кресло, пока автомобиль ускоряется.

Использование понятия сил инерции в ряде случаев позволяет проще записывать уравнения динамики и быстрее находить ответы в соответствующих задачах.