14.1.4 Теорема Гаусса для магнитного поля

Помимо теоремы о циркуляции вектора в теории магнетизма имеется своя теорема Гаусса, которая также касается потока вектора, являющегося силовой характеристикой поля (в данном случае – магнитного). Речь идёт о потоке вектора магнитной индукции или о магнитном потоке.

По определению магнитным потоком _М через некоторую поверхность S называется интеграл вида

_М  . (14.8)

В отличие от потока вектора напряжённости электрического поля магнитный поток в СИ имеет собственную единицу измерения – вебер; 1 Вб  1 Тлм².

В формуле (14.8) поверхность может быть любой, но в теореме Гаусса говорится о замкнутой поверхности. Приведём текст теоремы и соответствующую ей формулу¹.

Поток вектора индукции магнитного поля через произвольную замкнутую поверхность равен нулю:

 0. (14.9)

Напомним: применяя теорему Гаусса для электрического поля, в правую часть формулы следует подставлять алгебраическую сумму электрических зарядов, охватываемых поверхностью. Именно поэтому теорема Гаусса для магнитного поля, согласно которой в правой части формулы должен стоять ноль, иногда интерпретируется, как свидетельство того, что отдельно существующих магнитных «зарядов» (монополей – «северных» и «южных») в природе не существует.

Продемонстрируем справедливость теоремы на простейшем примере, применив её для описания магнитного поля, создаваемого прямым, тонким, бесконечно длинным проводником с током (рис. 14.6).

– Начертим рисунок, выберем некоторую точку A, находящуюся на расстоянии R от прямого проводника с током, изобразим силовые линии магнитного поля (одна из них проходит через точку A).

– Выберем замкнутую поверхность, форма которой соответствует симметрии задачи; поверхность проходит через выбранную точку А (на рис. 14.6. это цилиндр радиусом R, ось которого совпадает с проводником).

– Посчитаем поток вектора индукции магнитного поля по выбранной поверхности, как сумму интегралов по двум донышкам цилиндра S_Д1 и S_Д2, а также по его боковой поверхности S_Б. Учтём, что нормали и к донышкам цилиндра и к любому элементу боковой поверхности (например, – в выбранной точке A) перпендикулярны силовым линиям магнитного поля, поэтому:

_М     

    0.

Таким образом, магнитный поток через выбранную нами замкнутую поверхность действительно равен нулю: утверждение, высказанное в виде теоремы Гаусса для магнитного поля, справедливо.

Некоторые примеры

• Диаметр первого циклотрона (1931 г.) составлял 25 см. Диаметр Серпуховского ускорителя равен примерно 1,5 км, средний диаметр кольца Большого адронного коллайдера превышает 8 км.

• Поскольку величина холловской разности потенциалов зависит от индукции внешнего магнитного поля, создаваемого, в частности проводниками, по которым идёт электрический ток, то это позволяет создавать на основе датчиков Холла бесконтактные измерители силы тока в пределах от десятков миллиампер до нескольких тысяч ампер.

• На основе эффекта Холла созданы (и предлагаются к продаже многими фирмами) датчики тока, индукции магнитного поля, положения, перемещения, расхода, угла поворота, частоты вращения и др.; устройства блокировки дверей, считыватели магнитных карточек или ключей, датчики систем зажигания автомобилей, бесконтактные реле и т. д.

Вопросы для повторения

1. Пользуясь формулой закона Ампера, выведите формулу для силы Лоренца.

2. Опишите принцип работы циклотрона.

3. В чём заключается эффект Холла? Как с его помощью можно определить концентрацию и знак носителей заряда в веществе?

4. Что называется циркуляцией вектора ?

5. Сформулируйте теорему о циркуляции вектора магнитной индукции и приведите пример её применения для вычисления индукции магнитного поля, создаваемого прямым бесконечным проводником с током.

6. Сформулируйте теорему о циркуляции вектора магнитной индукции и приведите пример её применения для вычисления индукции магнитного поля, создаваемого тороидом.