Лекция 9 электростатика. Часть III

9.1 ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

9.1.1 Примеры применения теоремы Гаусса для электрического поля в вакууме (продолжение)

9.1.2 Электрический диполь. Диполь в однородном и неоднородном электрических полях

9.2 ДИЭЛЕКТРИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

9.2.1 Поведение молекул диэлектрика в электрическом поле

9.2.2 О пьезоэффекте и сегнетоэлектричестве

Некоторые примеры

Вопросы для повторения

9.1 Характеристики электричесокого поля

9.1.1 Примеры применения теоремы Гаусса для электрического поля в вакууме (продолжение)

б) Поле равномерно заряженной бесконечно длинной тонкой прямой нити

Пользуясь теоремой Гаусса, выведем формулу для напряжённости электрического поля, создаваемого длинной прямой тонкой нитью с линейной плотностью заряда  (зарядом dQ, приходящимся на единицу длины dl, ) на некотором расстоянии r от этой нити.

Действуем по алгоритму, изложенному на предыдущей лекции: рисуем чертёж, изображаем силовые линии, выбираем точку М, находящуюся на расстоянии r от нити, проводим через неё одну из силовых линий, после чего выбираем замкнутую поверхность, соответствующую симметрии задачи и проходящую через эту точку. Очевидно, такой поверхностью будет цилиндр, ось которого совпадает с нитью (рис. 9.1, предполагается, что нить заряжена положительно).

Следующий шаг – вычисление потока вектора через всю поверхность цилиндра как сумму интегралов по двум донышкам цилиндра S_Д1 и S_Д2, а также по его боковой поверхности S_Б. В вычислениях учитываем, что нормали к донышкам перпендикулярны силовым линиям, а нормали в любой точке боковой поверхности (например, – в точке M) направлены вдоль силовых линий, проходящих через эти точки.

_E     

    .

Принимая во внимание то, что в силу симметрии цилиндра напряжённость электрического поля в любой точке его боковой поверхности одинакова, а также то, что площадь боковой поверхности цилиндра, имеющего высоту h, равна 2rh, запишем:

_E   E  2rhE.

Заряд, находящийся в области, ограниченной поверхностью цилиндра, сосредоточен на участке нити длиной h и равен h. Согласно теореме Гаусса _E  h/₀, или

2rhE  .

Сократив h в обеих частях равенства, получаем формулу для расчёта напряжённости электрического поля тонкой прямой заряженной нити:

E  . (9.1)

в) Поле равномерно заряженной плоскости

Получим формулу для расчёта напряжённости электрического поля, создаваемого равномерно заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда  (зарядом dQ, приходящимся на единицу площади dS, то есть   ).

Точно так же, как это мы делали ранее, создаём чертёж, изображаем силовые линии, выбираем точку М, находящуюся на некотором расстоянии плоскости, проводим через неё одну из силовых линий, после чего выбираем замкнутую поверхность, соответствующую симметрии задачи и проходящую через эту точку. В данном случае в качестве такой поверхности можно также выбрать цилиндр, ось которого проходит через выбранную точку M и перпендикулярна заряженной плоскости (на рис. 9.2. её заряд принят положительным).

Теперь вычислим поток вектора через всю поверхность цилиндра как сумму интегралов по двум донышкам цилиндра S_Д1 и S_Д2, а также по его боковой поверхности S_Б. В Вычислениях учитываем, что нормали к донышкам параллельны силовым линиям, а нормали в любой точке боковой поверхности направлены перпендикулярно силовым линиям, проходящих через эти точки.

_E     

     .

В силу симметрии значения напряжённости в любых точках донышек одинаковы, площади донышек равны, следовательно,

_E  ES_Д1  ES_Д2  2ES₀.

Заряд, охватываемый цилиндром, сосредоточен на участке поверхности площадью S₀ и равен S₀. Применив теорему Гаусса, получим: _E  2ES₀  , или в вакууме напряжённость электрического поля равномерно заряженной плоскости на любом расстоянии от этой плоскости

E  . (9.2)

г) Поле двух равномерно заряженных плоскостей с зарядами, равными по величине, но имеющими противоположные знаки

Для вычисления напряжённости воспользуемся только что полученной формулой (9.2), и принципом суперпозиции. На рис. 9.3 представлен вид сбоку такой системы; силовые линии положительно заряженной плоскости (поверхностная плотность заряда ) изображённая сплошными, отрицательно заряженной (поверхностная плотность заряда ) – пунктирными линиями.

Поскольку для обеих плоскостей E не зависит от расстояния и одинаково по модулю, то в областях I и III соответствующие вектора напряжённости в сумме дают ноль, зато в области II результирующая напряжённость E_РЕЗ  2E, то есть

E  . (9.3)

Итак, электрического поля вне данной системы нет, оно как бы «конденсируется» в пространстве между двумя плоскостями, поэтому такую систему называют плоским конденсатором, а заряженные плоскости – обкладками этого конденсатора. Заметим: формула (9.3) получена в предположении, что обкладки-плоскости безграничны.