6.1.4 Следствия из преобразований Лоренца

Из преобразований Лоренца вытекает ряд следствий, которые допускают экспериментальную проверку и, тем самым, могут свидетельствовать о том, насколько теория Эйнштейна соответствует действительности.

а) Сокращение длины движущихся объектов

Пусть объект, имеющий длину l₀ в системе отсчёта XYZ, (рис. 6.4) движется вместе с этой системой со скоростью ₀ относительно системы XYZ вдоль оси X. Очевидно при этом, что l₀x₂  x₁. Но длину объекта l можно измерить и в системе XYZ. Для этого в один и тот же момент времени t следует засечь координаты начала и конца объекта: l  x₂  x₁. Используя обратное преобразование Лоренца для координаты x (именно в него входит нужное время t), получим:

l₀  x₂  x₁     , или

l  l₀. (6.8)

Поскольку  1, l  l₀, то есть, объект как бы «сокращается» в размерах относительно неподвижного наблюдателя вдоль направления своего движения¹. Изменения размеров в двух других направлениях при этом не происходит.

б) Изменение длительности процесса

Пусть в одной и той же точке с координатой x в движущейся системе отсчёта произошли два события, разделённые интервалом времени ₀  t₂  t₁. С точки зрения наблюдателя, находящегося в системе отсчёта XYZ этот интервал составляет   t₂  t₁. Используя обратное преобразование Лоренца для координаты x (именно в него входит нужное время t), получим:

  t₂  t₁     , или

  . (6.9)

Поскольку  1,   ₀, то есть из формулы (6.9) следует, что длительность какого-либо события, происходящего с телом, минимальна в той системе отсчёта, в которой тело покоится. Чем быстрее тело движется, тем дольше длится это событие с точки зрения наблюдателя, мимо которого пролетает тело.

Последнее соотношение получило непосредственное экспериментальное подтверждение. Под действием солнечного излучения в верхних слоях атмосферы Земли рождаются элементарные частицы мюоны. Эти частицы нестабильны, они распадаются самопроизвольно на электрон (или позитрон) и два нейтрино. Среднее время жизни, измеренное в условиях, когда они неподвижны (или движутся с малой скоростью), составляет всего лишь 2·10^6 с. На первый взгляд, даже двигаясь со скоростью света, мюоны за это время способны пролететь не более 600 м. Однако, как показывают наблюдения, мюоны, хотя и образуются на высоте 20  30 км, всё же успевают в значительном количестве достигнуть земной поверхности. Это объясняется тем, что 2·10^6 с – собственное время жизни мюона, то есть время ₀, измеренное по часам, движущимся вместе с ним. Время , отсчитанное по часам экспериментатора, связанного с Землей, оказывается гораздо большим (скорость мюона близка к с). Поэтому нет ничего удивительного в том, что этот экспериментатор наблюдает пробег мюона, значительно больший 600 м.

Отметим, что с позиции самого мюона, хотя его время существования и невелико, малым для него оказывается расстояние, пролетаемое до поверхности Земли (имеет место лоренцево сокращение длины).

С замедлением течения времени в движущейся системой отсчёта связан так называемый парадокс близнецов. Поскольку об этом парадоксе довольно часто вспоминается в научно-популярной и фантастической литературе, имеет смысл рассмотреть его подробнее. Напомним, что парадокс – это неожиданное положение, находящееся в видимом противоречии с общепринятыми понятиями.

Представим себе, что на Земле одновременно родились два брата – близнеца, один из которых в зрелом возрасте стал космонавтом и собрался полететь в межзвёздную экспедицию. До старта ракеты биологический возраст близнецов был одинаковым, поскольку оба всю жизнь провели на Земле и двигались со скоростями, много меньшими с. После старта космонавт будет двигаться с большой скоростью, а, следовательно, с точки зрения близнеца, оставшегося на Земле, его старение будет происходить медленнее. Это еще не парадокс, а простое следствие преобразований Лоренца.

Теперь сделаем еще один шаг в размышлениях: с точки зрения космонавта неподвижной можно было бы считать ракету, это Земля улетала из-под ног, и, следовательно, это землянин должен будет стариться медленнее! Итак, казалось бы, всё зависит от точки зрения, разницы – никакой. Однако, несмотря на кажущуюся равноценность систем отсчёта «ракета» и «Земля», после возвращения домой окажется, что всё же именно космонавт состарится меньше брата. Вот в этом и заключается видимое противоречие, парадокс.

Данный парадокс возник из-за того, что мы посчитали обе системы отсчёта равноценными. Но это не так: разгоняясь до околосветовой скорости, затормаживая у звезды, разворачиваясь, вновь разгоняясь по направлению к Земле, а затем – затормаживая для посадки, ракета оказывается неинерциальной, движущейся с ускорением системой отсчёта. Неинерциальность (это можно строго показать, используя математический аппарат СТО), как раз и приводит к тому, что общее время между стартом и возвращением ракеты для космонавта всё же окажется меньше, чем для земного наблюдателя.

Подобные эксперименты уже проводились в наше время: сравнивались показания часов, остававшихся на Земле, и запускавшихся в космос на спутниках. И хотя скорости современных космических аппаратов далеки от световых, различие в показаниях часов в земной лаборатории и возвращаемых на Землю после достаточно длительного полёта фиксируется вполне уверенно.

Некоторые примеры

• Учитывая, что среднее расстояние от Земли до Солнца составляет 150000000 км (это расстояние называется 1 а. е. – астрономическая единица), можно оценить время, за которое свет, испущенный нашим светилом, достигает земной поверхности: около 500 с или 8,3 мин.

• До самой близкой к Солнцу соседней звезды (Альфа Центавра) свет идёт примерно 4,4 года. Если полететь к этой звезде на космическом корабле, движущемся со скоростью 0,99с, то для космонавта полёт туда и обратно займёт примерно 9 лет. На Земле при этом пройдёт более 60 лет…

• По современным представлениям средний диаметр Вселенной составляет около 156 млрд. световых лет.

• Даже у аппарата, движущегося с третьей космической скоростью (16,6 км/с), лоренцево сокращение длины не превышает 1,510^9%.

Вопросы для повторения

1. Сформулируйте постулаты Эйнштейна в СТО. Чем формулировка первого постулата отличается от формулировки принципа относительности Галилея?

2. Приведите пример ситуации, которая говорит о том, что время в системах отсчёта, движущихся относительно друг друга, течёт неодинаково.

3. Каков смысл преобразований Галилея и Лоренца (что с их помощью можно определить)?

4. Приведите пример применения правила сложения скоростей в СТО.

5. Какие следствия вытекают из преобразований Лоренца?

6. Приведите пример эксперимента, для объяснения результатов которого необходимо привлекать преобразования Лоренца.

7. В чём заключается парадокс близнецов?

Оцените время, которое пройдёт на Земле за время космической экспедиции к Сириусу (до него примерно 8,6 световых лет пути) со средней скоростью 0,99 от скорости света.