6.1.3 Преобразования Лоренца

Если учесть постулат Эйнштейна об инвариантности скорости света при переходе от одной системы отсчёта к другой, то системы уравнений, позволяющих осуществлять пересчёт координат и скоростей точки при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой, существенно меняются. Соответствующие формулы носят название преобразований Лоренца. Лоренц впервые получил их, решая задачу о том, как описать изменение электрического и магнитного полей при переходе от системы отсчёта, в которой заряды покоятся (электростатика) к системе, в которой они движутся с постоянной скоростью (их можно интерпретировать, как постоянные токи). Любопытно, что уравнения были написаны до создания Эйнштейном теории относительности, но Лоренц интерпретировал их просто как удобный метод вычислений. Эйнштейн же, опираясь на работы Лоренца и ряда других авторов, выдвинул гораздо более сильную идею – данные преобразования не просто «математический фокус», ценный в практическом отношении метод расчётов: они отражают глубинные свойства окружающего нас мира!

Перед тем, как записать систему уравнений, позволяющих выполнять как прямые, так и обратные преобразования Лоренца для координат, вновь представим себе, что система отсчёта XYZ с постоянной скоростью движется вдоль оси X относительно системы отсчёта XYZ. В начальный момент времени (t  t  0, где t – показания часов в системе XYZ, t – в системе XYZ) оси систем координат совпадали; точка А неподвижна в системе отсчёта XYZ (рис. 6.3). Ниже записаны системы (6.5) и (6.6) преобразований Лоренца для рассматриваемого случая.

Прямые преобразования Лоренца для координат и времени

x 

y  y

z  z (6.5)

t 

Обратные преобразования Лоренца для координат и времени

x 

y  y

z  z (6.6)

t 

В классической механике Ньютона Вселенная рассматривается как бесконечное пространство, в каждой точке которого время течёт одинаково, и уж, тем более, независимо от того, движутся ли рассматриваемые системы отсчёта друг от друга или покоятся. Согласно СТО, дело обстоит принципиально иначе: t  t, то есть нельзя говорить отдельно о пространстве и отдельно – о времени, они представляют собой единую систему, пространственно-временной континуум. В этом смысле нашу Вселенную следует считать не трёх-, а четырёхмерной, где состояние любого объекта описывается совокупностью четырёх взаимосвязанных переменных – трёх координат и времени. Другими словами, вопросы «где?» или «когда?» в СТО не имеют особого смысла, корректен лишь вопрос «где и когда?». Правда, в привычных нам условиях скорость реальных объектов много меньше скорости света в вакууме (c  310⁸ м/с), то есть ₀  с, и ₀/с  0. Тогда t  t, системы уравнений (6.5) и (6.6) становятся идентичными и переходят в систему (6.1). Таким образом, в нашей повседневной жизни мы с успехом можем пользоваться динамикой Ньютона и полагать при этом, что время везде течёт одинаково.

Вернёмся к преобразованиям Лоренца.

Если точка А не неподвижна, а движется с постоянной скоростью _x в системе отсчёта XYZ, то, учитывая, что, по определению _x  , а _x  , применяя формулы (6.5) и (6.6), можно вывести правило сложения скоростей в СТО:

_x  . (6.7)

В частности, если точка А движется вдоль оси X со скоростью света (_x  с), и при этом сама система отсчёта XYZ движется с такой же скоростью вдоль оси X (₀  с), то скорость точки А относительно системы отсчёта XYZ будет не   с  с  2с, как казалось бы на первый взгляд, а _x  (с  с)/  c, что находится в полном соответствии со вторым постулатом Эйнштейна в СТО.