Лекция 8 электростатика. Часть II

8.1 ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

8.1.1 Работа по переносу заряда в электрическом поле

8.1.2 Потенциал – энергетическая характеристика электрического поля. Графическое отображение потенциала (эквипотенциальные линии)

8.1.3 Связь потенциала и напряжённости электрического поля

8.1.4 Теорема Гаусса для электрического поля в вакууме

8.1.5 Примеры применения теоремы Гаусса для электрического поля в вакууме

Некоторые примеры

Вопросы для повторения

8.1 Характеристики электричесокого поля

8.1.1 Работа по переносу заряда в электрическом поле

Решая задачи механики, мы убедились в том, что использование понятий «работа» и «энергия» позволяет получать ответы даже в тех случаях, когда в ходе перемещения тела силы, действующие на него, менялись по величине. Подобная проблема особенно актуальна в неоднородном электрическом поле, ведь даже сила взаимодействия двух точечных зарядов существенным образом зависит от расстояния между ними.

Для описания изменения энергии заряженных тел в электрическом поле вводится энергетическая характеристика этого поля, которая называется потенциалом.

Об электрическом поле мы говорим, поскольку в каждой точке пространства на заряд, помещаемый в это поле, действует определённая сила (Кулона). Силы электростатического поля являются консервативными (их работа не зависит от формы траектории, по которой перемещается тело, а определяется лишь его начальным и конечным положениями). Работа сил такого поля равна убыли потенциальной энергии тела.

Рассчитаем работу, которую совершают силы электрического поля перемещая один точечный заряд q, находившийся изначально на расстоянии r₁ от второго точечного заряда Q того же знака в точку, в которой расстояние между зарядами станет равным r₂.

По определению, работа переменной силы при перемещении тела из точки 1 в точку 2: A   . В нашем случае угол  между направлением силы и направлением перемещения первого заряда равен нулю (заряды отталкиваются), а сама сила F описывается выражением, входящим в закон Кулона, поэтому

A       .

Последнее выражение можно интерпретировать, как убыль потенциальной энергии: A  W_П1  W_П2. Полагая, что на бесконечности (при r → ∞ заряды практически перестают взаимодействовать, F → 0) потенциальная энергия равна нулю (то есть при r₂ → ∞ W_П2 → 0), получаем выражение для потенциальной энергии в точке 1 поля: W_П1  . Такую же формулу можно записать для потенциальной энергии заряда q в любом другом месте поля, создаваемого точечным зарядом Q:

W_П  . (8.1)

Очевидно: потенциальная энергия W_П численно равна работе A_∞, которую необходимо совершить силам поля с тем, чтобы переместить положительный заряд из данной точки на бесконечность.

В электрическом поле, создаваемом не одним, а несколькими зарядами потенциальная энергия заряда q равна алгебраической сумме значений потенциальной энергии в полях, создаваемых каждым зарядом в отдельности:

W_П   q (8.2)

(здесь  – результирующий потенциал электрического поля в данной точке).

На основе данной формулы можно получить, что при перемещении заряда q из точки поля с потенциалом ₁ в точку с потенциалом ₂ силы поля совершают работу A  q(₁  ₂), или, введя обозначение ₁  ₂  U, запишем для работы сил поля

A  qU. (8.3)

Замечание: Символом U в разделе «электричество» принято обозначать падение напряжения на участке цепи. В общем случае (например, если рассматриваемый участок содержит батареи, аккумуляторы), понятия разность потенциалов и падение напряжения не совпадают. В электростатике, однако, мы не рассматриваем работу источников тока, и в этом случае отличия между данными понятиями нет: можно говорить, что U это разность потенциалов электрического поля в двух выбранных точках, а можно – что это падение напряжения (или напряжение) на участке между этими точками.

Замечание:

Если после перемещения в поле по замкнутому контуру l заряд q вернули в исходную точку (r₁  r₂), работа сил электростатического поля окажется равной нулю, поскольку W_П1  W_П2. Это можно отобразить так:

A   0.

Из определения напряжённости электрического поля  q, следовательно,

 q  0, то есть в электростатическом поле

 0. (8.4)

В математике интеграл вида называют циркуляцией вектора , поэтому можно сказать: в электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю.