11.2.2 Закон Ома в дифференциальной форме

Во внешнем электрическом поле напряжённостью E на электрон (заряд e, масса m) в металле действует сила F  eE. Используя формулу второго закона Ньютона, для ускорения, приобретаемого электроном, запишем:

a  . (11.6)

При равноускоренном движении за время  скорость электрона достигает величины _Д  a, причём она росла бы и дальше, но, согласно классической теории, электроны, как атомы идеального газа, постоянно сталкиваются с ионами металла, теряют скорость и меняют её направление (а для тока важна скорость именно направленного движения), поэтому вынуждены разгоняться вновь и вновь. Если обозначить среднюю длину свободного пробега электронов от одного столкновения до другого буквой , то время , соответствующее такому пробегу, можно выразить, как

    . (11.7)

Здесь учтено, что полная скорость  движения электронов в каждый момент времени складывается из дрейфовой и тепловой, причём _Д  _КВ, поэтому   _КВ.

Таким образом, достижимое значение дрейфовой скорости составляет

_Д  a   . (11.8)

Теперь получим выражение, связывающее дрейфовую скорость с плотностью тока j.

Пусть по участку цилиндрического проводника, имеющему длину l и площадь поперечного сечения S, идёт ток I. Представим себе, что в этом участке изначально находилось N свободных электронов, которые под действием электрического поля движутся со скоростью _Д вдоль проводника (в направлении, обратном направлению вектора ). Электроны, находившиеся ближе к правому «дну» цилиндрического участка (рис. 11.2), покинут данный участок проводника раньше, остальные – позже. Последними покинут данный участок электроны, находившиеся в начальный момент времени у левого «дна», то есть общее время, которое потребуется для того, чтобы весь заряд, равный eN, прошёл через данный участок, составляет t₀  l/_Д. При этом сила тока может быть представлена, как

I     e_ДS_  en_ДS_,

и плотность тока j оказывается связанной с концентрацией n свободных носителей заряда (электронов) и с их дрейфовой скоростью соотношением

j   en_Д. (11.9)

Если заряд переносится носителями обоих знаков (ионами в растворах и в газах, электронами и дырками в полупроводниках и т. д.), то в итоговом выражении для плотности тока следует учесть вклад и тех и других:

j  |q₁|n₁_Д1  |q₂|n₂_Д2. (11.10)

Вернувшись к формуле 11.8, выражение 11.9 для плотности тока в металле перепишем в виде

j  en  E. (11.11)

Множитель, стоящий перед напряжённостью электрического поля E, принято обозначать буквой ; он называется удельной электропроводностью. Очевидно, его величина определяется свойствами проводника (концентрацией в нём носителей заряда, их длиной свободного пробега );  зависит также от температуры. В итоге, с учётом того, что в нашем случае вектор направлен туда же, куда и вектор , мы получаем формулу, которая выражает закон Ома в дифференциальной форме:

 . (11.12)