Лекция 14 магнитное поле. Часть II

14.1 ИНДУКЦИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ (Часть II)

14.1.1 Действие магнитного поля на движущийся заряд. Сила Лоренца. Ускорители заряженных частиц

14.1.2 Эффект Холла. Использование эффекта Холла для определения знака и концентрации носителей заряда

14.1.3 Теорема о циркуляции вектора . Примеры применения теоремы

14.1.4 Теорема Гаусса для магнитного поля

Некоторые примеры

Вопросы для повторения

14.1 Индукция магнитного поля (Часть II)

14.1.1 Действие магнитного поля на движущийся заряд.

Сила Лоренца. Ускорители заряженных частиц

Итак, на проводник длиной l, по которому идёт ток I и который находится в магнитном поле с индукцией B, действует сила Ампера F_A, вычисляемая по формуле F_A  IlBsin, где  – угол между направлением тока и вектором магнитной индукции. Если же тока нет, то сила Ампера не возникает. Этот факт заставляет предположить, что магнитное поле действует лишь на движущиеся заряды (в металлах – на электроны), а на неподвижные (на ионы кристаллической решётки, испытывающие только хаотические тепловые колебания около положения равновесия) влияния не оказывает. Поэтому давайте получим формулу для вычисления силы, действующей в магнитном поле на один движущийся заряд.

Согласно определению, сила постоянного тока I   , где q – общий заряд, который переносится силами поля за время t. Если зарядов N штук, и величина каждого равна q, то q  Nq, и формулу для силы Ампера можно переписать в виде

F  lBsin  NqBsin.

Поскольку t – это время, за которое заряды преодолевают расстояние l под действием сил поля, то дробь l/t фактически равна их дрейфовой скорости , направление которой к тому же (в случае положительных зарядов) совпадает с направлением протекания тока. Сказанное позволяет сделать следующий шаг:

F  NqBsin, или  Nq[].

Но – сила, действующая на все N зарядов, а на каждый из них по отдельности действует сила F_Л, в N раз меньшая:

 q[]. (14.1)

Эта сила носит название силы Лоренца.

Данная сила действует на любой заряд, движущийся в магнитном поле. Если же кроме магнитного поля на заряд действует ещё и электрическое, то

 q[]  q. (14.2)

Определить направление силы Лоренца по формуле (14.1) можно, используя правило левой руки. Однако, следует помнить, что это правило в математике применяется лишь для определения направления векторного произведения (в нашем случае – произведения []). Если заряд q положителен, то направление совпадёт с направлением этого произведения, если заряд q имеет знак «минус» (как, например, у электрона), то сила Лоренца будет направлена в сторону, противоположную той, которая определялась про правилу левой руки.

Особенностью векторного произведения является то, что его результат (в нашем случае вектор ) оказывается перпендикулярным обоим сомножителям (у нас – векторам и ). Если при этом сами вектора и взаимно перпендикулярны, то заряд будет двигаться в магнитном поле по окружности.

На рис. 14.1 изображены траектории движения в однородном магнитном поле одинаковых по массе, но имеющих заряды q и q, частиц, влетевших с одинаковой скоростью в поле перпендикулярно его силовым линиям (на рисунке они направлены «от нас»). Если скорость влетающего в поле заряда имеет компоненту , параллельную силовым линиям, траекторией заряда окажется винтовая спираль. Вдоль оси спирали заряд будет двигаться равномерно со скоростью , но одновременно под действием силы Лоренца он станет вращаться вокруг оси спирали с постоянной линейной скоростью (здесь – компонента скорости, перпендикулярная вектору ). При этом сила Лоренца F_Л  qB.

Возможность отклонять пучки заряженных частиц от первоначального направления распространения с помощью магнитного поля широко используется на практике. Системы такого отклонения обычно оказываются более компактными, чем те, в которых отклонение обеспечивается электрическими полями. Типичный пример использования этого явления – электронно-лучевые трубки (кинескопы) телевизоров. Электроны, испускаемые нагретым катодом, после ускорения электрическим полем отклоняются магнитными полями соленоидов системы вертикальной и горизонтальной развёртки. В результате электронный луч попадает в заданные точки экрана, заставляя светиться нанесённый на него люминофор: возникает изображение.

Принцип организации движения зарядов не по прямой, а по окружности, используется в ускорителях заряженных частиц (в том числе – в запущенном недавно в Европейском центре ядерных исследований Большом адронном коллайдере). Непосредственно для ускорения частиц до больших скоростей применяется электрическое поле, силы которого совершают работу по перемещению зарядов и, тем самым, сообщают им требуемую кинетическую энергию. Однако за время разгона частицы успевает пройти большое расстояние, а построить требуемый для этого прямой, достаточно длинный тоннель, из которого, к тому же, должен быть откачен воздух (такая конструкция носит название «линейный ускоритель»), технически весьма сложно (и даже практически невозможно, если длина тоннеля должна превышать несколько сотен метров). Но использование магнитного поля позволяет «свернуть» прямую траекторию ускоряемой заряженной частицы в окружность или расширяющуюся спираль. Примером устройства данного типа является циклотрон.

Циклотрон состоит из двух металлических коробов (они называются «дуанты»), форма каждого из которых близка форме половины цилиндра, разрезанного на две равные части вдоль оси симметрии. Дуанты внутри пустые, на них может создаваться разность потенциалов как одного, так и другого знаков, причём каждый находится в магнитном поле, силовые линии которого перпендикулярны его основаниям (рис. 14.2.а).

Дуанты разведены друг от друга на некоторое расстояние; если ввести в зазор вблизи центра системы заряженную частицу и создать между дуантами ускоряющую разность потенциалов ₁₂, частица начнёт ускоряться. В момент влёта частицы внутрь первого дуанта она уже будет иметь некоторую скорость, однако там на неё будет действовать сила Лоренца, и траектория частицы искривится. Описав полуокружность, частица вылетит из дуанта, но к этому времени полярность дуантов меняют, и частица вновь ускоряется в зазоре между ними. Она влетает уже во второй дуант (её скорость стала больше), внутри него вновь испытывает действие силы Лоренца, и, описав полуокружность, вылетает из него. К этому времени полярность дуантов меняют вновь: происходит новое ускорение частицы, затем имеет место новый поворот магнитным полем и т.д. (рис. 14.2.б).

П оскольку скорость частицы всё время возрастает, её траекторией оказывается уже не окружность, а расширяющаяся спиралевидная кривая, и когда её радиус достигнет размера установки, частица вылетает из дуанта в специальное окно: поставленная цель по разгону частицы до нужной скорости выполнена.

На практике, конечно, всё обстоит не так просто: следует точно согласовать моменты переключения полярности дуантов с моментами вылета частицы из очередного из них, учесть эффект увеличения релятивистской массы частицы при больших скоростях и т.д. Именно поэтому разгон заряженных частиц до скоростей, приближающихся к скорости света, происходит на установках, которые имеют уже другую конструкцию – синхротронах, синхрофазотронах и др. Однако сам принцип превращения прямолинейной траектории движения разгоняемой заряженной частицы в окружность или расширяющуюся спираль остаётся тем же: это делается с помощью силы Лоренца.