13.1.2 Взаимодействие параллельных токов.

Ампер – основная единица СИ

Поскольку вокруг любого проводника с током имеется магнитное поле, это означает, что два проводника, по которым идут токи, должны взаимодействовать друг с другом. В качестве примера рассмотрим два прямых, бесконечно длинных тонких проводника, расположенных параллельно друг другу. Каждый их них создаёт вокруг себя магнитное поле, которое действует на «соседа», силы взаимодействия, естественно, равны по величине и противоположны по направлению (третий закон Ньютона). Определим, в каком направлении будут действовать эти силы.

Пусть токи в проводниках идут в одну сторону (рис. 13.4). Проводник с током I₁ находится в поле, создаваемом вторым проводником (его индукция в том месте, где находится первый проводник, равна , вектор направлен от нас). Следовательно, на первый проводник со стороны второго действует сила , которая, в соответствии с правилом левой руки, направлена направо. Аналогично, проводник с током I₂ находится в поле первого проводника, вектор магнитной индукции которого направлен на нас. Сила , действующая на второй проводник со стороны первого, направлена налево. Таким образом, проводники, по которым токи идут в одном направлении, притягиваются.

Что произойдёт с проводниками, по которым токи идут в противоположных направлениях, студентам предлагается определить самостоятельно.

Взаимодействие прямых параллельных проводников с током положено в основу эталона ампера – основной единицы СИ. По определению, 1 А, это такая сила постоянного тока, который при прохождении по двум прямолинейным параллельным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого поперечного сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м друг от друга, вызывал бы на каждом участке проводника длиной 1 м силу взаимодействия, равную 210^7 Н.

13.1.3 Закон Био-Савара-Лапласа

Для вычисления силы, которая будет действовать на один проводник со стороны другого, необходимо уметь рассчитывать индукцию магнитного поля, создаваемого проводником с током на заданном расстоянии от него (в том числе – в случае, если второй проводник не является прямым). Вычислить индукцию магнитного поля , создаваемого малым участком проводника, по которому идёт ток I, в точке, положение которой задаётся радиус-вектором (см. рис. 13.5), можно, пользуясь законом Био-Савара-Лапласа, который в СИ имеет вид:

 . (13.5)

В этой формуле ₀  410^7 Гнм^1 – магнитная постоянная (о единице измерения индуктивности – генри – мы поговорим позднее).

По величине dB   ,

где  угол между векторами и ; согласно правилу левой руки (или правилу буравчика), применённому для векторного произведения , вектор направлен вглубь рисунка («от нас»).

Для нахождения общей индукции магнитного поля, создаваемого всем проводником в целом, следует применить принцип суперпозиции, согласно которому индукция магнитного поля, создаваемого системой разных объектов (проводников с током, постоянных магнитов), равна векторной сумме векторов индукции магнитных полей, создаваемых каждым объектом в отдельности:

 . (13.6)

В виде примера рассмотрим, как используется закон Био-Савара-Лапласа для расчёта индукции магнитного поля, создаваемого в центре кругового витка с током.

Пусть по круговому витку радиусом R идёт ток I (рис. 13.6.а). Выделим на витке малый участок (направление этого вектора совпадает с направлением протекания тока) и запишем, чему равна индукция магнитного поля, создаваемого этим участком в центра витка. Учитывая, что радиус окружности всегда перпендикулярен любому малому участку этой окружности (  90º), запишем:

dB   . (13.7)

По правилу левой руки вектор на рисунке направлен вверх, причём это направление одинаково для всех малых элементов , выбираемых на окружности. Это означает, что и результирующий вектор в центре окружности будет направлен вверх, то есть, интегрировать можно уже не сами вектора , а их проекции на вертикальную ось, скаляры dB – см. (13.7):

B     2R  .

Таким образом, индукция магнитного поля в центре кругового витка с током рассчитывается по формуле

B  . (13.8)

Используя закон Био-Савара-Лапласа, можно вывести формулы для индукции магнитного поля, создаваемого:

• на оси кругового витка с током на высоте h над плоскостью витка (рис. 13.6.б):

B  . (13.9)

• на расстоянии r₀ от прямого отрезка проводника с током, концы которого из точки наблюдения видны под углами ₁ и ₂ (рис. 13.6.в):

B  (cos₁  cos₂). (13.10)

В частности, для бесконечно длинного проводника ₁  0º, ₂ 180º, и выражение (13.10) принимает вид:

B  . (13.11)

• внутри соленоида, имеющего n витков на единицу длины, на его оси в точке, из которой края соленоида видны под углами ₁ и ₂ (рис. 13.6.г):

B  ₀nI(cos₂  cos₁). (13.12)

Для бесконечно длинного соленоида ₁  180º, ₂  0º, и для индукции магнитного поля внутри соленоида можно записать:

B  ₀nI. (13.13)

Формулы (13.11) и (13.13) мы выведем позднее, используя теорему о циркуляции вектора индукции магнитного поля.

Некоторые примеры

• Индукция магнитных полей, возникающих при функционировании человеческого мозга, составляет около 10^9 Тл.

• Индукция магнитного поля, создаваемого магнитными аппликаторами, которые используются в медицине для снижения мышечных болей, составляет около 10 мТл.

• Крупные электромагниты с железными сердечниками создают в промежутке между полюсами магнитную индукцию до 6 Тл; на уникальных установках, созданных в СССР и США, удавалось достичь индукции до 50 Тл.

• Магнитное поле нейтронных звёзд может превышать 10¹⁰ Тл, при этом энергия взаимодействия электрона с магнитным полем оказывается соизмеримой с его энергии покоя m_ec², что должно приводить к появлению специфических релятивистских эффектов.

Вопросы для повторения

1. Сформулируйте закон Ампера и приведите пример его проявления.

2. Дайте определение вектору индукции магнитного поля. В каких единицах магнитная индукция измеряется в СИ?

3. Как графически отображается магнитное поле? Приведите примеры.

4. Объясните, как взаимодействуют бесконечно длинные параллельные проводники, по которым токи идут: а) в одном направлении; б) в противоположных направлениях.

5. Дайте определение основной единице СИ – амперу.

6. В чём заключается закон Био-Савара-Лапласа? Приведите пример его применения.