10.2.3 Энергия уединённого заряженного проводника

Ранее мы получили, что потенциальная энергия W_П точечного заряда q, находящегося в вакууме на расстоянии r от другого точечного заряда Q, рассчитывается по формуле W_П  . Нетрудно показать, что если заряды находятся в среде с диэлектрической проницаемостью , формула принимает вид W_П  .

Обозначим один заряд q₁, а второй, соответственно, q₂. Тогда

W_П   

 q₁  q₂   .

Здесь ₁ – потенциал поля, создаваемого первым зарядом в той точке, где находится заряд q₂, и, наоборот, ₂ – потенциал поля, создаваемого зарядом q₂ в той точке, где находится заряд q₁. Оба слагаемых равноценны: всё равно считать, который из зарядов находится в поле соседа, то есть энергия W_П является общей потенциальной энергией данной системы зарядов.

Для потенциальной энергии системы, состоящей не из двух, а из N точечных зарядов q₁, q₂, … , q_i, … , q_N, можно записать:

W_П  . (10.8)

Такой системой можно считать поверхность имеющего заряд q проводника, предварительно разбив её на N достаточно малых частей. Однако, в отсутствие электрического тока, все точки проводника имеют одинаковый потенциал , следовательно,

W_П    ,

Используя определение электроёмкости (10.5), выражение для энергии заряженного проводника, можно представить в виде:

W_П    . (10.9)

10.2.4 Электрические конденсаторы. Электроёмкость

конденсатора. Электроёмкость плоского конденсатора

Электрическим конденсатором называется система, состоящая из двух близко расположенных проводников. Чаще всего в электрических схемах конденсаторы соединены таким образом, что при накоплении на одном из них заряда q, заряд на другом оказывается равным q. Если принять потенциал первого проводника равным ₁, а потенциал второго, равным ₂, то электроёмкостью конденсатора будет называться отношение

C  . (10.10)

С учётом введённого ранее обозначения U  ₁  ₂, выражение (10.10) приобретает вид:

C  . (10.11)

Так же, как и в случае уединённого проводника, электроёмкость конденсатора зависит от свойств материала окружающей среды (М), размеров проводников (Р), и их формы (Ф), в том числе – от геометрии их взаимного расположения в пространстве, и также измеряется в фарадах.

Следует особо обратить внимание на то, что электроёмкостью обладает система из двух любых близко расположенных проводников, а не только тех, которые входят в состав используемых в радиосхемах конденсаторов. Центральная жила кабеля и его заземляющая оплётка – электрический конденсатор, провод линии электропередачи и земля – тоже и т. д. То, что такие системы обладают собственной электроёмкостью, необходимо учитывать при расчёте токов утечки (как известно, конденсатор проводит переменный электрический ток), возможных наводок паразитных сигналов в цепях работающей аппаратуры.

В общем случае расчёт электроёмкости системы из двух проводников может быть весьма затруднителен, поэтому на практике конденсаторы изготавливают из таких материалов, таких размеров и формы, для которых расчёт C достаточно прост. В качестве примера покажем, как рассчитывается электроёмкость плоского конденсатора: системы из двух параллельных разноимённо заряженных проводящих (металлических) плоских пластин, линейные размеры которых много больше расстояния d между ними. Площадь каждой из пластин S; между пластинами находится изолирующая среда с диэлектрической проницаемостью .

Полагая, что в наших условиях каждую заряженную пластину можно считать плоскостью с поверхностной плотностью заряда  и  соответственно, запишем формулу для напряжённости электрического поля в области между пластинами: E  (студентам предлагалось вывести её самостоятельно по аналогии с формулой для напряжённости поля в области между двумя параллельными, находящимися в вакууме плоскостями E  ).

Ранее мы рисовали картину силовых линий внутри плоского конденсатора: они перпендикулярны пластинам, поэтому, выбрав ось координат X так, как это показано на рис. 10.3, и вспомнив связь E с , запишем, что вдоль силовой линии E   .

Из этого выражения следует:

d  Edx, или  , то есть ₂  ₁  d.

По ходу дела отметим полученное нами и очень полезное в практическом отношении соотношение: для плоского конденсатора

E  . (10.12)

Поскольку U  ₁  ₂, а   q/S, где q – заряд одной пластины, можно записать, что U  d. С учётом определения C  q/U, мы получаем искомую формулу для расчёта электроёмкости плоского конденсатора:

C  . (10.13)

Расчёт электроёмкости конденсаторов других конструкций (цилиндрических, сферических и т. д.) ведётся по аналогичному принципу: сначала выводим формулу для расчёта E (например, – с помощью теоремы Гаусса), затем, используя связь E с , находим разность ₁  ₂ между проводниками-обкладками конденсатора, после чего применяем формулу-определение C.

Из формулы (10.13) можно легко получить единицу измерения электрической постоянной ₀ (Ф/м).

В заключение отметим: в электрических схемах конденсаторы могут соединяться друг с другом и с другими элементами цепи разным образом. О способах соединения простейших элементов электрических цепей и о методах соответствующих расчётов будет рассказано на практических занятиях.

Некоторые примеры

• Электроёмкость планеты Земля составляет примерно 700 мкФ.

• Для экранировки внешнего электростатического поля в обычных условиях достаточно слоя металла толщиной в один – два атомных слоя.

Вопросы для повторения

1. Что называется вектором электрического смещения? В каких единицах его величина измеряется в СИ?

2. Сформулируйте теорему Гаусса для электрического поля в диэлектрике; запишите соответствующую формулу и поясните смысл входящих в формулу величин.

3. Продемонстрируйте, как применяется теорема Гаусса для вычисления напряженности электрического поля в диэлектрике в случае полей, создаваемых: а) равномерно заряженной сферой; б)равномерно заряженной тонкой бесконечной прямой нитью; в)равномерно заряженной плоскостью; г) двумя параллельными разноимённо заряженным плоскостями.

4. Что называется электроёмкостью уединённого проводника? От чего она зависит? В каких единицах измеряется в СИ?

5. Выведите формулу для расчёта электроёмкости металлического шара.

6. Что называется электроёмкостью конденсатора? От чего она зависит? В каких единицах измеряется в СИ?

7. Выведите формулу для расчёта электроёмкости плоского конденсатора.