Лекция 10 электростатика. Часть IV

10.1 ДИЭЛЕКТРИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ (Часть 2)

10.1.1 Теорема Гаусса для электрического поля в диэлектрике

10.2 МЕТАЛЛЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

10.2.1 Напряжённость и потенциал электрического поля в уединённом проводнике

10.2.2 Электроёмкость уединённого проводника

10.2.3 Энергия уединённого заряженного проводника

10.2.4 Электрические конденсаторы. Электроёмкость конденсатора. Электроёмкость плоского конденсатора

Некоторые примеры

Вопросы для повторения

10.1 Диэлектрики в электрическом поле (Часть 2)

10.1.1 Теорема Гаусса для электрического поля в диэлектрике

Как мы показали на предыдущих лекциях, теорема Гаусса позволяет вывести формулы для расчёта напряжённости электрического поля в вакууме. Но прямое использование данной теоремы для расчёта поля в диэлектрике осложняется необходимостью учёта вклада в суммарный заряд, охватываемый выбранной замкнутой поверхностью, всех зарядов молекул вещества, также охваченного этой поверхностью. Понятно, что в целом молекулы электронейтральны, но ведь при произвольном выборе поверхности часть из них будет «рассекаться» этой поверхностью на положительно и отрицательно заряженные части, вклад которых в общий заряд нам приходится учитывать.

Рассмотрим эту ситуацию подробнее на примере неполярного диэлектрика. Пусть такой материал, в который помещены N заряженных объектов (их заряды q₁  q_N мы будем называть свободными), находится в неоднородном электростатическом поле напряжённостью. В этом поле молекулы материала станут диполями, причём их дипольные моменты в каждой точке будут параллельны силовым линиям поля (рис. 10.1). Окружим некоторую область вещества замкнутой поверхностью (на рисунке её сечение обозначено BFJM на сером фоне), и подсчитаем заряд, охватываемый этой поверхностью.

Во-первых, эта поверхность охватывает свободные заряды, сумма которых равна . Во-вторых, поверхность охватывает заряды, связанные c диполями, однако, часть диполей целиком находится в охватываемой области, и их суммарный вклад в общий заряд равен нулю (на рисунке это диполи 2, 8, 9, 11). Часть диполей лежит вне охватываемой области, и поэтому их заряд также учитывать не нужно (диполи 3, 5, 10, 14).

Вблизи малого участка dS, в области которого поле можно считать практически однородным, суммарный заряд dQ, который соответствует диполям, лишь одной вершиной находящейся в охватываемой области (диполи 4, 12, 13), равен

dQ  qndV, (10.1)

где n – концентрация диполей (их общее число в единице объёма), dV  lcosdS – объём вблизи площадки dS, занимаемый зарядом, который следует учитывать, l – длина диполя,  – угол между вектором и внешней нормалью к dS. В формуле (10.1) учтено, что заряд, который мы учитываем, отрицателен.

Согласно теореме Гаусса, интегрируя по всей замкнутой поверхности, получим:

  , или

  .

Но произведение ql  p_e, причём np_e  P, где p_e – электрический дипольный момент молекулы, а P – поляризованность вещества. Более того, по определению скалярного произведения и учитывая, что площадке dS соответствует вектор , направленный по вектору внешней нормали, можно записать:

  .

Оба интеграла, входящие в эту формулу, берутся по одной и той же поверхности, поэтому их можно объединить:

 .

Комбинация векторов напряжённости электрического поля и поляризованности, стоящая под знаком интеграла, обозначается символом и называется вектором электрического смещения:

 ₀  . (10.2)

Формулировка же теоремы Гаусса приобретает вид: поток вектора электрического смещения через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных зарядов, охватываемых этой поверхностью,

 . (10.3)

Очевидно, что в вакууме, где нет никаких дипольных моментов и  0, формула приобретает уже знакомый нам вид.

На практике, описывая связь векторов и , обычно учитывают, что  ₀, где  – диэлектрическая восприимчивость вещества (это мы показали на прошлой лекции). При этом

 ₀   ₀  ₀  (1  )₀.

Сумма 1   обозначается буквой  и называется диэлектрической проницаемостью вещества, то есть

 ₀. (10.4)

Применяя теорему Гаусса, сформулированную для электрического поля в диэлектрике, и используя соотношение (10.4), можно вывести выражения для напряжённости электрического поля, создаваемого в этом диэлектрике равномерно заряженными сферой (вне сферы E  ), нитью (E  ), плоскостью (E  ). Студентам предлагается сделать это самостоятельно.