8.1.5 Примеры применения теоремы Гаусса для электрического поля в вакууме

а) Поле равномерно заряженной сферы

Рассмотрим сферу радиусом R и зарядом Q. Она делит пространство на две область: внутри сферы (где зарядов нет) и снаружи от неё. Выражение для напряжённости создаваемого электрического поля получим для каждой из этих областей.

Д ля области вне сферы: рисуем чертёж, изображаем силовые линии, выбираем точку М, находящуюся на расстоянии r от центра сферы, проводим через неё одну из силовых линий, после чего выбираем замкнутую поверхность, соответствующую симметрии задачи и проходящую через эту точку. Очевидно, такой поверхностью будет сфера, центр которой совпадает с центром сферы, напряжённость электрического поля которой мы рассчитываем (рис. 8.4.а).

Теперь считаем поток вектора через выбранную поверхность, учитывая, что нормаль к её любому участку, например, – с точкой M, совпадает с силовой линией, проходящей через этот участок (угол , который входит в формулу для потока, везде равен нулю):

_E   

В силу симметрии выбранной поверхности напряжённость электрического поля в любой её точке должна быть одинаковой:

_E   .

Но по определению интеграла  S, где S  4r² – площадь сферы; таким образом, _E  4r²E.

Применим теорему Гаусса: выбранной поверхностью охватывается весь заряд Q, поэтому можно записать: 4r²E  , или, другими словами, напряженность поля вне заряженной сферы

E  . (8.10)

Для любой точки М в области, находящейся внутри заряженной сферы, можно выбрать сколь угодно много замкнутых поверхностей, проходящих через эту точку и при этом лежащих внутри заряженной сферы (рис. 8.4.б). По теореме Гаусса, так как ни одна из таких поверхностей не окружает заряд, то для них для всех _E  0, независимо от формы. Другими словами, в этом случае  0 при любом S, а это возможно лишь если интеграл берётся от нуля, то есть внутри заряженной сферы E  0.

Некоторые примеры

• В физике, как правило, потенциал электрического поля равным нулю выбирается на бесконечности; в электротехнике за нулевой потенциал часто принимают поверхность Земли.

• У живых клеток в покое между внутренним содержимым клетки и наружным раствором существует разность потенциалов порядка 60 – 90 мВ.

• Разность потенциалов между катодом и анодом внутри электронно-лучевой трубки цветного телевизора достигает 25 кВ.

• Разность потенциалов между Землёй и ионосферой составляет 200 – 250 кВ.

Вопросы для повторения

1. Что называется потенциалом электрического поля? В каких единицах она измеряется в СИ? Как отображается графически?

2. Выведите формулу для потенциала электрического поля, создаваемого точечным зарядом.

3. В чём заключается принцип суперпозиции в случае потенциала электрического поля? Ответ поясните рисунком.

4. Запишите формулы, связывающие напряжённость и потенциал электрического поля и поясните смысл входящих в эти формулы величин.

5. Изобразите картины эквипотенциальных линий электростатических полей, создаваемых уединёнными точечными зарядами, близко расположенными разноимёнными зарядами, обкладками плоского электрического конденсатора.

6. Сформулируйте теорему Гаусса для электрического поля; запишите соответствующую формулу и поясните смысл входящих в формулу величин.

7. Продемонстрируйте, как применяется теорема Гаусса для вычисления напряженности электрического поля, создаваемого равномерно заряженной сферой.