5.2.2 Закон сохранения момента импульса. Трёхстепенной гироскоп

Напомним, что моментом импульса малого объекта, имеющего импульс , относительно некоторой точки, расстояние от которой до объекта задаётся радиус-вектором , называется векторное произведение  [,].

Введём определение.

Пусть имеется система N материальных точек, импульсы которых обозначим , , …,, … ,. Будем называть эту систему замкнутой, если на неё не действуют внешние моменты сил (или действуют, но их сумма равна нулю).

Закон сохранения момента импульса: суммарный момент импульса замкнутой системы материальных точек (тел) не меняется со временем:

 … …  const. (5.5)

Момент импульса – вектор, направленный вдоль оси, вокруг которой движется тело (или оси вращения самого тела), а это означает, что так же, как и в случае закона сохранения импульса , складывать моменты импульсов необходимо либо по правилу параллелограмма, либо – суммируя проекции этих векторов.

Замечание: Пусть момент инерции тела I относительно некоторой закреплённой оси вращения не меняется со временем, тогда, как мы показали ранее, с учётом того, что угловая скорость вращения всех его точек (естественно, кроме тех, которые лежат на самой оси вращения – они не движутся) одинакова, можно записать:  I. Если же момент инерции тела изменится под действием внутренних сил, то, согласно закону сохранения момента импульса, поменяется по величине и его угловая скорость: I₁  I₂, и, следовательно,

. (5.6)

Приведём два примера такой ситуации.

• Если фигурист, быстро вращающийся на льду с прижатыми к груди руками, вдруг резко разведёт их в стороны (и тем самым увеличит свой момент инерции), то скорость его вращения уменьшится.

• Если звезда в процессе своей эволюции начинает сжиматься (то есть, её момент инерции будет уменьшаться), скорость вращения звезды возрастает. Во Вселенной это явление наблюдается при коллапсе звёзд из состояния белого карлика в нейтронную звезду. Процесс может носить взрывной характер и сопровождаться выделением громадной энергии: земным наблюдателем этот взрыв воспринимается как вспышка сверхновой.

Разберём ещё один пример, связанный с использованием закона сохранения момента импульса в технике: рассмотрим принцип работы трёхстепенного гироскопа.

Как мы говорили на прошлой лекции, гироскопом называется массивное твёрдое тело, вращающееся с большой скоростью вокруг одной из своих осей симметрии. Трёхстепенной гироскоп располагается в подвесе, позволяющем ему свободно поворачиваться не только относительно этой оси, но и еще относительно двух других, перпендикулярных друг другу и первой оси, при этом точка пересечения всех трёх осей должна совпадать с центром тяжести гироскопа. Такой подвес называется кардановым (по имени по имени Д. Кардано, (1501 – 1576), который, кстати, не изобретал его, а лишь описал в своей книге «Хитроумное устройство вещей», получившей в своё время широкую известность). Главным свойством карданова подвеса является то, что если в него закрепить вращающееся тело, то оно будет сохранять направление оси вращения независимо от ориентации самого подвеса.

Рассмотрим работу трёхстепенного гироскопа (рис. 5.3) подробнее.

На гироскоп (массивный цилиндр), вращающийся с большой скоростью относительно оси O_XO_X, и имеющий момент импульса действуют сила тяжести , силы реакции опоры и в подшипниках на оси вращения и (возможно) силы трения в самих подшипниках. Однако, момент силы тяжести равен нулю относительно любой их трёх осей O_XO_X, O_YO_Y и O_ZO_Z (так как равно нулю расстояние от точки приложения силы тяжести до любой из этих осей). Моменты сил и компенсируют друг друга (в силу симметрии устройства эти силы равны по величине и приложены на одинаковых расстояниях от любой из осей). Если использовать хорошие подшипники (например, подвеска – магнитная), то моментом сил трения всех трёх пар подшипников можно пренебречь. Сказанное означает, что сумма моментов всех сил, действующих на гироскоп, равна нулю, и, вследствие закона сохранения момента импульса, у раскрученного гироскопа величина и направление должны сохраняться неизменными. Приложение добавочных сил к опорам на оси O_YO_Y ситуации не меняют: моменты возникающих при этом сил в силу симметрии системы также одинаковы по величине и противоположны по направлению, то есть взаимно уничтожаются.

Тот факт, что ось трёхстепенного гироскопа сохраняет ориентацию в пространстве, позволяет использовать это устройство для создания компасов, не связанных с магнитным полем Земли (например – в космических аппаратах), транспортных средств, при любых вибрациях сохраняющих вертикальное положение, робототехнических системах, отслеживающих движение манипуляторов в пространстве и т. д.

Вот как, например, работает гироскоп в системе наведения баллистической ракеты: ось раскрученного гироскопа управляет движением полозка на реохорде, включённом в цепь поворота рулей ракеты. На определённой минуте полёта программа выдаёт задание на начало разворота, ракета вместе с реохордом поворачивается, но ось-то гироскопа (и связанный с ней движок реохорда) сохраняет ориентацию в пространстве! В результате поворота ракеты и смещения корпуса реохорда относительно оси гироскопа увеличивается длина одного из плеч, меняется его сопротивление. Поворот продолжается до тех пор, пока сопротивление не достигнет заданного программой полёта значения, после чего подаётся сигнал на прекращение поворота. Рули возвращаются в исходное положение, и ракета летит дальше с новым постоянным положением движка реохорда относительно его корпуса.

В настоящее время в некоторых странах (США, Японии) начато производство электрических компактных транспортных средств типа одно- и двухколёсных самокатов. Человек стоит на небольшой площадке или сидит в седле и только осуществляет управление: от падения его предохраняет гироскопическая система, обеспечивающая вертикальность устройства. Таким образом, трёхстепенные гироскопы уже давно перестали быть экзотикой и широко используются в разных видах транспорта.

В заключение данного параграфа ещё раз заметим: закон сохранения момента импульса выполняется только для замкнутой системы тел. Если же система незамкнута, её момент импульса меняется, причём, согласно основному закону динамики вращательного движения, изменение момента импульса системы прямо пропорционально времени t действия момента внешних сил:

 t (5.7)

(см., например, явление прецессии).