де р=Р/(4ab); Р – вертикальна сила, прикладена в центрі прямокутної поверхні основи розмірами в плані 2a×2b; x, y – координати точки, у якій обчислюється осідання поверхні, щодо центра прямокутника відповідно в напрямку сторін 2a і 2b.

Таким чином, розподілене навантаження у формулі (18.58) при обчисленні коефіцієнтів матриці податливості основи плити буде дорівнювати р=1/(4ab). Якщо основа складена різнорідними за глибиною ґрунтами, у формулах (18.54) та (18.58) необхідно використовувати осереднені за глибиною значення Е і ν, наприклад, за методикою, прийнятою в нормах на проектування основ при обчисленні крену фундаменту.

18.6.РОЗРАХУНОК РАМ НА ДЕФОРМОВАНІЙ ОСНОВІ

Урозрахунковій схемі рами на деформованій основі (рис. 18.4) робота ґрунтової основи моделюється стрижневими кінцевими елементами, що сполучаються жорстко зі стаканною частиною фундаменту і мають нерухомі закріплення в опорних перетинах (рис. 18.10). Жорсткості стрижнів, які моделюють роботу ґрунтової основи, призначаються з умов адекватності переміщень фундаменту на ґрунтовій основі (чи пальовій основі) й верхнього перетину стрижня еквівалентної жорсткості при дії тих самих навантажень. Тут мають місце такі співвідношення. Переміщення фундаменту на пружній основі відповідно до теорії коефіцієнта жорсткості визначаються за формулами

де Аf , If – відповідно площа підошви фундаменту та момент інерції цієї площі щодо осі, нормальної до площини вигину; Сz – коефіцієнт жорсткості основи

528

при рівномірному стиску (див. п. 18.3); Cϕ і Cx – коефіцієнти жорсткості основи при нерівномірному стиску й зрушенні, визначені через коефіцієнт жорсткості

Сz за формулами (18.33) і (18.34).

Переміщення верхнього перетину стрижня, що моделює роботу ґрунтової основи, визначаються відповідно до інженерної теорії деформування стрижнів формулами:

де EF, EI, GF – відповідно осьова, згинальна і зсувна жорсткості перетину стрижня, що моделює роботу ґрунтової основи; ℓ – довжина стрижня, що моделює роботу ґрунтової основи.

Прирівнюючи відповідні переміщення фундаменту на пружній основі й верхньому перетині стрижня, що моделює роботу ґрунтової основи, одержуємо три рівняння для визначення чотирьох геометричних параметрів стрижня: трьох жорсткостей і довжини. Приймаючи довжину стрижня ℓ як довільний параметр, одержимо вираз для визначення трьох жорсткостей перетину стрижня:

З отриманих співвідношень випливає, що точне моделювання переміщень фундаменту на деформованій основі за допомогою консольного стрижневого елемента можливе тільки для визначеного співвідношення зусиль M і Q, що діють у його верхньому перетині. Оскільки ці зусилля заздалегідь невідомі, рішення задачі буде пов’язане з необхідністю організації ітераційних процедур з уточнення жорсткісних характеристик стрижня. Щоб цього уникнути, спробуємо позбутися в отриманих виразах величин співвідношення зусиль у верхньому перетині стрижня. Це можливо зробити, якщо прийняти довжину стрижня ℓ значно меншу від одиниці. Тоді члени у формулах, котрі містять ℓ у степені, більшій від одиниці, будуть настільки малі в порівнянні з членами, що містять ℓ у першій степені, що ними можна знехтувати. З урахуванням зробленого допущення, одержимо:

На рис. 18.11 представлені результати досліджень впливу розмірів фундаментів П–подібної жорсткої рами на величини моментних навантажень на фундаменти. Дослідження виконані з використанням розрахункової моделі ґрунтової основи за рис. 18.10. Установлено, що моментне навантаження змінюється від мінімального значення, яке відповідає мінімальному розміру підошви фундаменту за умови обмеження крайових тисків на основу, до максимального значення, котре відповідає абсолютно жорсткій основі. При подальшому збільшенні розмірів фундаменту моментне навантаження не змінюється.

Формули (18.62) можуть також використовуватися при призначенні па-

529

ристовуваних у програмних комплексах. Наприклад, для розрахунку балок на пружній основі використовуються погонні коефіцієнти жорсткості, що характеризують деформаційні властивості одиниці довжини основи балки. Погонний коефіцієнт жорсткості обчислюється за формулою

де b – ширина підошви фундаменту балки.

У формулі (18.63) коефіцієнт жорсткості основи Cz має розмірність кН/м3, а погонний коефіцієнт жорсткості Kz – розмірність кН/м2.

При аналізі результатів розрахунків, виконаних із використанням кінцевих елементів спеціального типу, відпір ґрунту p(x) по підошві фундаменту балки (кН/м) обчислюється за формулою

де S(x) – осідання балки в перетині з координатою x.

Для того щоб визначити крайові тиски по підошві стовпчастого фундаменту, його плиту в розрахунковій схемі потрібно моделювати мінімум двома кінцевими елементами спеціального типу ( пластинами чи стрижнями на пружній основі).

18.7. КОНТИНУАЛЬНІ КІНЦЕВО-ЕЛЕМЕНТНІ РОЗРАХУНКОВІ СХЕМИ ФУНДАМЕНТІВ І СПОРУД НА ДЕФОРМОВАНІЙ ОСНОВІ.

Розрахунок основ, фундаментів і споруд із використанням континуальних кінцево-елементних розрахункових схем відноситься до першої групи методів

531

(див. п. 18.2). У цілому складання таких розрахункових схем нічим не відрізняється від прийнятого в теорії розрахунку будівельних конструкцій. Для моделювання в розрахунковій схемі ґрунтів основи (рис. 18.13) використовуються просторові чи плоскі (плоска задача) трикутні й прямокутні кінцеві елементи. Для розрахунку основ із використанням рівнянь стану теорії пластичності комендується застосовувати октаедричні та трикутні кінцеві елементи, напру- жено-деформований стан у яких задається однорідним. Це необхідно для прив’язки рівнянь стану до конкретних точок середовища, тому що в процесі навантаження споконвічно ізотропне середовище стає анізотропним (явище деформаційної анізотропії). Деформаційними характеристиками ґрунту в стішому випадку є модуль деформації Е і коефіцієнт поперечної деформації ν. При використанні лінійних моделей (див. п. 18.3) ґрунтовий масив може розглядатись як невагомий. Деякі програмні комплекси дозволяють реалізувати метод пружних рішень для врахування нелінійної роботи матеріалів конструкцій, у т.ч. і ґрунтів основи, що моделюються континуальними кінцево-елементними розрахунковими схемами. В цьому випадку ґрунтовий масив повинен завантажуватися силами власної ваги ґрунту. Для кінцевих елементів, розташованих нижче від рівня ґрунтових вод, при визначенні об’ємних сил необхідно викори-

532

x(м)

Рис. 18.14. Перерозподіл напруг у простінках стіни безкаркасної будівлі, викликане

замочуванням ґрунтів основи у торців: 1 – початкові епюри відпору ґрунту та стискуючих напруг у простінках; 2 – епюри відпору ґрунту та напруг в простінках після замочування торців будівлі; q – розподілене навантаження на стіну; р – відпір ґрунту; σ – вертикальні напруження в простінках; W – напрямок замочування ґрунтів основи

Досить часто при аналізі спільної роботи системи “основа–фундамент– будівля” визначальним є рівень напружено-деформованого стану надземних конструкцій, оскільки саме цей стан визначає експлуатаційну придатність споруди. Наприклад, у процесі експлуатації будинку (рис. 18.14) може відбутися перерозподіл відпору ґрунту під підошвою фундаменту внаслідок замочування основи по краях будинку. При цьому максимальні тиски на основу можуть залишатися менше від припустимих. Наслідком процесу перерозподілу епюри відпору ґрунту під підошвою фундаменту є перерозподіл нормальних напруг у простінках першого поверху (див. графік 2 на рис. 18.14). За певних умов міцність простінків може виявитися недостатньою для сприйняття додаткових напруг, викликаних перерозподілом відпору ґрунту під будинком. Приведений тут приклад свідчить про необхідність в окремих випадках виконання уточнених розрахунків споруд з урахуванням їх взаємодії з основою і фундаментами для одержання достовірних даних про напружено-деформований стан надземних конструкцій та запобігання будівельних аварій.

У дослідницьких роботах знаходять застосування спеціальні обчислювальні програми для розрахунку ґрунтових основ, що реалізують різні версії теорії пластичності (І. П. Бойко, Д. М. Шапіро, А. А. Петраков й інші). В основному зазначені програми реалізують модифіковані рівняння стану теорії пластичної течії чи деформаційної теорії пластичності. Відмінність цих рівнянь складається в постулюванні різних гіпотез про колінеарності векторів напруг, деформацій і їхніх швидкостей на основі результатів експериментальних перевірок. У зв’язку з цим використання таких обчислювальних програм припускає експериментальне визначення додаткових характеристик ґрунтів, що встанов-

533

люють параметри нелінійного деформування, форми дилатансійного руйнування тощо. Оскільки одержання таких характеристик нормами на проектування основ не передбачено, використання зазначених обчислювальних програм у проектній практиці вкрай обмежене.

Значно більше поширення одержали нелінійні алгоритми, що описують нелінійну роботу ґрунтового масиву, основані на розв’язанні змішаної задачі теорії пружності і пластичності (О. К. Бугров, А. Б. Фадєєв та інші). Тут передбачається, що до вичерпання міцності ґрунт деформується лінійно, а після вичерпання міцності переходить у стан пластичної течії. Для розв’язання таких задач цілком достатньо мати стандартні характеристики деформативності й міцності ґрунтів, до яких відносяться: модуль деформації Е, коефіцієнт Пуассона ν, кут внутрішнього тертя φ і зчеплення с.

Методична послідовність розв’язання пружної-пластичної задачі для ґрунтового масиву ілюструється алгоритмом, який нижче наводиться, реалізованим у програмному комплексі “Поліфем”. Алгоритм тестований при визначенні початкового критичного тиску на вагому основу відповідно до аналітичного розв’язання (задача Пузиревського).

Ґрунт представляється пружнопластичним матеріалом, що працює пружно до вичерпання міцності і перехідить у пластичну течію при наступному навантаженні. Діаграма міцності ґрунту як анізотропного матеріалу описується з використання умови міцності Кулона–Мора (див. п. 6.4):

де σz, σx, τzx – компоненти тензора напруг; c, ϕI – характеристики міцності ґрунту для граничних станів першої групи.

Для реального напруженого стану визначається коефіцієнт k наближення кінцевого елемента до граничного стану. При множенні на цей коефіцієнт тензора напруг повинна виконуватися в кінцевому елементі рівність (18.65). Таким чином, дограничному стану роботи ґрунту відповідає коефіцієнт k, більший від одиниці.

Реальні навантаження розділяються на ступені. У межах ступеня навантаження вважається умовно простим. Таким чином, точність розв’язання задачі збільшується зі зменшенням інтенсивностей параметрів, що навантажують, на ступені.

Для врахування особливостей складного навантаження сумарні напруги в точці (кінцевому елементі) записуються в такому вигляді:

де σzо, σxо, τzxо – початкові напруги (сума всіх напруг на попередніх ступенях навантаження); σzs, σxs, τzxs – збільшення напруг (напруги на розглянутому ступені навантаження); k – коефіцієнт наближення кінцевого елемента до граничного стану.

Для визначення коефіцієнта k зважується рівняння (18.65) при підстановці в нього рівнянь (18.66). Результат рішення представляється наступним алгоритмом:

534