9. ГРАНИЧНИЙ НАПРУЖЕНИЙ СТАН АНІЗОТРОПНИХ ОСНОВ

Підставляючи вирази (9.8), (9.9) у рівняння (9.10), у підсумку отримаємо співвідно-

шення

яке разом з умовою граничного стану, записаного у рівняннях (9.7), при заданих компонентах напруг у точці шляхом послідовних наближень дозволяє знайти напрямок дотичної до кривої ковзання у даній точці. Одержана система рівнянь у дійсних компонентах напруг має такий вигляд:

або в підсумку ± β =π / 4 +ϕ( β ) / 2 . Знаки перед β показують, що реалізуються дві симет-

ричні площадки ковзання. Однак це справедливо лише у тому випадку, коли годографи φ(β) та с(β) мають дві ортогональні осі симетрії, одна з яких збігається з напрямом σ1 або σ2. У протилежному випадку друга площадка, як і перша, відшукується послідовним наближенням та дотична до поверхні ковзання недзеркальна відносно осі y. Таким чином, використання системи (9.12) також приводить до громіздких розрахунків при визначенні кінематичної картини руйнування анізотропної основи.

9.2. ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧ ДЛЯ АНІЗОТРОПНОЇ ЗА ОПОРОМ ЗРУШЕННЮ ОСНОВИ

Основна задача

Основною вважають задачу відшукування напрямів характеристик через кінці заданої елементарної площадки, завантаженої наведеною напругою, відхиленою від нормалі до площадки під довільним кутом δ. При вирішенні цієї задачі будемо оперувати анізотропною напівплощиною із заданими φ(β) та с(β), які відповідають умовам (9.1), (9.2).

Розглянемо граничну рівновагу невагомої елементарної призми ABD, вважаючи, що по площадці АВ розподілені наведені напруги, рівнодіюча яких F відхилена від нормалі до площадки під кутом δ. Окрім того, будемо вважати AD i BD площадками ковзання. Відносно осі відліку AB, AD та BD орієнтовані відповідно під кутами β1, β2, β3 (рис. 9.4). Тоді згідно з годографом φ(β) відповідні кути внутрішнього тертя будуть φ(β1), φ(β2) та φ(β3).

Побудуємо навкруги призми коло з центром у точці О, з котрої проведемо перпендикуляр до площадки АВ. На останньому знайдемо точку, де перетинаються дотичні до круга, проведені через кінці площадки АВ. Оскільки масштаб побудови довільний, будемо вважати, що круг 3 відповідає кругу вершин, тобто його радіус дорівнює d/2 відповідно позначенням п.9.1, і тоді виконана побудова збігається з наведеною у попередньому розділі.

Таким чином, якщо призма ABD знаходиться у граничному напруженому стані, кут ρ=φ(β1). У протилежному випадку круг вершин, що є геометричною подобою кола Кулона– Мора, не буде граничним, що суперечить вихідній передумові. Звідси виходить, що точка О1 розташована на огинаючій характеристичних кіл площадок, а О2 – на огинаючій кіл полюсів. Крім того, якщо ABD відповідає мінімальному напруженому станові (а – на рис. 9.4), то кут

f=π/2-φ(β1), якщо максимальному (б – на рис. 9.4), то f=π/2+φ(β1), а ν та μ можна визначити за допомогою залежностей

де верхні знаки відповідають напруженому станові а, нижні – стану б.

Повертаючись до розгляду граничної рівноваги ABD, відзначимо, що оскільки AD й

AB – площадки ковзання, то F1 i F2 відхилені від нормалей відповідно під кутами φ(β2) та φ(β3) і проходять через середини відрізків AD та BD із причини невагомості основи.

З умови рівноваги ABD виходить, що пряма F повинна проходити через точку е перетину F1 i F2. Оскільки на вид годографу φ(β) обмеження не введені, то в загальному випадку δ≠δ1. Звідси виходить, що для анізотропного ґрунту принцип сполученості площадок ковзання несправедливий. Ця обставина значно ускладнює вирішенння основної задачі у зіставленні з подібним для ізотропного ґрунту. Дійсно, заданому δ може відповідати декілька значень δ1, при яких F1 i F2, відхилені від нормалей під відповідними кутами внутрішнього тертя, будуть перетинатися в одній точці з напрямом F. Отже при розв’язанні практичних задач необ-

209

шення основної задачі для площадок АВ, зорієнтованих під різними кутами до осі відліку, спочатку доцільно побудувати графічний аналог умови граничного напруженого стану відповідно до послідовності процедур, наведених у п. 9.1. Тоді послідовний перебір точок для задоволення умов рівноваги можна проводити на кругу 3 рис. 9.2.

Графічне вирішення, як видно з наведеного алгоритму, достатньо громіздке і для досягнення необхідної точності потребує спеціальних навичок. Тому розглянемо аналітичне вирішення основної задачі, зберігаючи наведені вище позначення.

Із геометричних співвідношень, наведених на рис. 9.4, можна визначити, що відрізок О1е дорівнює у відносних одиницях

η= µ ±ϕ( β3 ) −δ , (9.16)

аν і μ відповідають залежностям (9.14). Залежність (9.15) зв’язує δ1 та δ2, тобто сумісно із залежностями (9.14) дає розв’язання основної задачі. Розглянемо окремі випадки отриманого вирішення.

1.φ(β)=const. Вираз (9.15) зліва і справа перетворюється в нуль, тобто відрізок О1е вироджується у точку, розташовану в точці прикладання F. Таким чином, принцип суміщеності площадок ковзання буде справедливим, і вирішення, що визначається залежностями (9.14), вироджується, як і належало чекати, у вирішення основної задачі для ізотропного ґрунту.

2.δ1=φ(β1). Із залежностей (9.14) отримаємо μ=0. У цьому випадку вираз (9.15) задовольняється при η=0. Тоді з рівнянь (9.16), оскільки β3=β1, виходить, що δ=δ1, тобто по площадці АВ реалізується площинне зрушення, що відповідає фізичному розумінню. До аналогічного висновку приходимо при δ1=-φ(β1).

3.φ(β2)=φ(β1)≠φ(β3) або φ(β3)=φ(β1)≠η(β2). Тоді з виразів (9.15), (9.16) виходить, що у першому випадку δ=ν±φ(β2) і δ=μ±φ(β3) – у другому.

4.φ(β2)=φ(β3)≠φ(β1). Вираз (9.15) набуває вигляду1 2

sinν / sin µ = sin[ν ±ϕ( β2 ) −δ ] / sin[ µ ±ϕ( β2 ) +δ ] .

Звідси при δ=0 отримаємо ν=μ, що відповідає фізичному розумінню. Таким чином, окремі випадки свідчать, що отримане розв’язання основної задачі узагальнює відоме вирішення для ізотропного ґрунту і містить його в собі як окремий випадок. Із виразів (9.15), (9.16) шляхом елементарних перетворень можна перейти до форми вирішення, більш зручної для практичних розрахунків.

При вирішенні конкретних задач окрім кінематичної частини, необхідно вирішувати статичну частину, найважливішою ланкою якої є визначення напрямку дії і значень активних сил. При вирішенні кінематичної частини розглядалась невагома призма АВD. Згідно із загальноприйнятим, впливом власної ваги на кінематичну картину можна знехтувати. Статична частина задачі відрізняється від вирішення для ізотропного ґрунту урахуванням зчеплення. Покажемо це.

При визначенні напрямку F (див. рис. 9.4) ураховувався тиск зв’язності σс( β1 ) = c( β1 ) / tg[ ϕ( β1 )] . Водночас прийнято припущення, що по площадках AD та BD

діють також σc ( β1 ). Найбільш зручно у практичних задачах вибирати у якості базового зна-

чення тиск зв’язності, тобто відносно цього значення вести врахування зчеплення по усіх площадках ковзання. Тоді, розглядаючи ∆σс( βi ) =σс( βi ) −σс( β1 ) як навантаження на і-й

поверхні ковзання, що коригує прийняте раніше рівним σс( β1 ), залишається її рівнодіючу

Приймаючи у рівнянні (9.25) cosdβ=1 та sindβ=dβ, після інтегрування і знаходження постійної інтегрування отримаємо вираз

який дозволяє виконати побудову загальної поверхні ковзання другого сімейства. Неважко побачити, що при φ(βn)=const рівняння (9.26) вироджується у відоме для ізотропного ґрунту в зоні Прандтля. Оскільки на вид годографа φ(β) обмежень не накладають і він задається табличною функцією, визначення інтеграла у рівнянні (9.26) виконується чисельно. У загальному випадку вирішення на окремих елементах зони може бути неоднозначним, тому інтегрування слід виконувати для найбільш невигідної кінематичної реалізації. При цьому попередньо за заданими граничними кутами β розкриття зони з’ясовують значення βk, βm, які і будуть межами інтегрування у рівнянні (9.26). На рис. 9.9 наведений приклад побудови загальної поверхні ковзання, який виконаний на основі годографа, зображеного на рис. 4.??. За допомогою побудови, наведеної на рис. 9.7, б, замість рівняння (9.26) у практичних розрахунках можна використати наближений прийом, що полягає у заміні поверхні ковзання ламаною, напрямки елементів якої виконуються для пучка першого сімейства поверхонь ковзання за допомогою побудов, аналогічних рис. 9.7, б. При цьому похибка не перевищує 3÷5%. Зі с- тавлення із загальними поверхнями ковзання для ізотропного ґрунту, поданими на рис. 9.9, приводить до висновку про суттєву відмінність результатів.

Для практичних задач необхідно мати напрям реакції F4, результуючої реактивні напруги по поверхні ковзання ED. Для розв’язання цього питання розглянемо рівновагу невагомого елемента, зображеного на рис. 9.8, замінивши кінцевим значенням кут dβ=β2+β4. Крім того, обумовимо r(β2) та r(β4) за допомогою виразу (9.26) або графічного засобу, викладеного вище. За умовами задачі елемент ADE знаходиться у граничному напруженому стані Прандтля. Тому наведені напруги по площадках ковзання AD й AE і їх результуючі відхилення від нормалей відповідно під кутами φ(β2) та φ(β4). Крім того, F1 і F3, з причин невагомості ADE, прикладені у точках, розташованих від полюса А відповідно на відстанях r(β2)/2 та r(β4)/2. Продовжуючи лінії дії F1 і F3, отримаємо точку їх перетину К. З умови рівноваги ADE лінія дії F4 повинна включити точку К і полюс А, виходячи з виду напруженого стану. Ця обставина дозволяє з геометричних співвідношень отримати напрямок F4, що визначається кутом βr, значення якого можна визначити за формулою

Рис. 9.9. Поверхня ковзання:

1 – для анізотропного за опором зрушенню грунту в гранично напруженому стані Прандтля; 2 – відповідає φ=minφ(β)=const; 3 – φ=maxφ(β)=const