Напружений стан у точці ґрунтового масиву, що описується трьома головними напругами σ1, σ2, σ3, зображено на рис. 10.4, б. Графічною формою граничних напружених станів є конічна поверхня із віссю ОС (σ1=σ2=σ3), яка утворює з напрямами координат кут 120°.

Слід також додати, що для характеристики складного напруженого стану часто використовують так званий параметр Надаї-Лоде

Для найпростіших напружених станів цей показник має такі значення: при одноосьовому стисненні (σ1>0, σ2=σ3=0) і при трьохосьовому симетричному стані (σ1>σ2=σ3>0) він дорівнює μσ=-1; у випадку одноосьового розтягу (σ1=σ2=0; σ3<0) або при осьовому трьохосьовому напруженому стані (σ1=σ2>σ3), μσ=+1; при чистому зрушенні (σ1=σ2>σ3, σ2=0) або коли (σ2=0,5(σ1+σ3)>0), μσ=0. Напружений стан вважають подібним, якщо параметр μσ для цих випадків однаковий.

10.3. ПРАКТИЧНІ МЕТОДИ УРАХУВАННЯ НЕЛІНІЙНОЇ ДЕФОРМАТИВНОСТІ ҐРУНТІВ У РОЗРАХУНКАХ ОСНОВ

Методи розрахунку осідань, розглянуті у розділі 7, базуються на засадах теорії лінійного деформування ґрунтів і справедливі за умови, що повний тиск за підошвою фундаменту не перевищує розрахункового опору ґрунту (p≤R). Іноді, особливо при будівництві на щільних ґрунтах, розраховане при цій умові осідання виявляється набагато менше від її граничного значення S<<Su. Тож для прийняття більш економічних розмірів фундаменту можна було б дещо збільшити тиск під його підошвою. Та при цьому оцінка нового осідання методами теорії лінійного деформування ґрунтів вже не буде об’єктивною.

Розрахунок осідань за межами лінійного деформування ґрунтів (при p>R) досить складний і виконується переважно числовими методами на ЕОМ (п.10.4, 10.5). З інженерних методів найбільшою популярністю в проектувальників користуються підходи професорів М. В. Малишева та О. К. Бугрова.

Метод М. В. Малишева полягає у використанні аналогії між кривими “осідання – навантаження” й “осідання – напруга”. Приймають, що при p≤R залежність між осіданням і навантаженням практично лінійна. При p=pu, де pu – граничне критичне навантаження, осідання вважають рівним нескінченності. Отже, задача зводиться до пошуку певної функції, що описує криволінійну ділянку залежності осідання від навантаження в інтервалі від p=R до

p=pu.

Із використанням положень теорії граничної рівноваги для визначення осідання Sp за межею лінійної деформативності ґрунтів застосовують залежність

де SR – осідання основи при p=R; pu – граничний опір ґрунту основи, котрий визначають як відношення вертикальної складової сили граничного опору до наведеної площі фундаменту pu=Nu/(b′ℓ′) (див. п. 8.3); σzg0 – вертикальна напруга від власної ваги ґрунту на рівні підошви фундаменту.

З аналізу вигляду формули (10.5) бачимо, що при p=R маємо Sp=SR, а при p=pu маємо Sp→∞. Отже, цей вираз відповідає прийнятим вище граничним умовам.

Формула (10.5) справедлива для однорідних ґрунтів у межах стислої товщі. В разі неоднорідного нашарування визначають товщу zu, у межах якої знаходять середні розрахункові характеристики ґрунтів

де E = β / mv – середнє значення модуля деформації ґрунтів у межах стислої товщі; mv – се-

233

реднє зважене значення відносного коефіцієнта стисливості шаруватої товщі, знаходження якого аналогічно визначенню середньозваженого модуля деформації ґрунту в методі І. О. Розенфельда (п. 7.7); β=0,8 – безрозмірний коефіцієнт; p0 – додатковий вертикальний тиск на основу під підошвою фундаменту. Якщо zu менше від ширини підошви фундаменту, приймають zu=b.

Середні розрахункові характеристики (γ , c , ϕ ), необхідні для визначення Nu, для неоднорідних нашарувань допускається визначати з умови

де ri – відповідно γi, ci чи φi кожного i-го шару; hi – товщина цього шару в межах товщі основи, що дорівнює zu.

Розрахунок осідань за межею прямої пропорційності за цим методом виконують у послідовності: 1) звичайним способом, наприклад пошаровим підсумовуванням, розраховують осідання фундаменту при p=R (якщо при цьому S<<Su, то призначають нову, меншу ширину фундаменту і для неї визначають нове значення p, яке буде вже більше від R); 2) за формула-

ми (10.6) та (10.7) находять значення zu і середніх характеристик γ , c , ϕ ; 3) для нового роз-

міру фундаменту з урахуванням цих характеристик визначають значення pu й за (10.5) розраховують осідання Sp (при цьому необхідне виконання умови Sp≤Su).

Із прикладом застосування методу професора М. В. Малишева ми радимо ознайомитись за “Пособием по проектированию оснований зданий и сооружений (к СНиП 2.02.0183)”. – М.: Стройиздат, 1986 (стор. 138-140).

Професор О. К. Бугров запропонував інший розрахунок осідань Sпл основи з розвиненими ділянками граничного напруженого стану ґрунту. Він ґрунтується на використанні величин осідань S пружної (лінійно-деформівної) основи, коефіцієнта “пластичного” осідання

Kплs та значення несучої здатності основи, при вичерпанні якої осідання наближається до не-

скінченності. Значення коефіцієнта Kплs = Sпл / S установлені узагальненням результатів

змішаних задач плоскої деформації для однорідних основ. За цим способом осідання пруж- но-пластичної основи знаходять за формулою

у якій коефіцієнт Kплs приймають за табл. 10.1 залежно від кута внутрішнього тертя φII ґрунту основи та величини x:

Таблиця 10.1. Значення коефіцієнта “пластичного” осідання Kплs

Примітка. Кореляційним аналізом даних таблиці 10.1 А. В. Яковлєв отримав рівняння:

Ksпл = [(k1 ϕI −k 2 )]/[x −(k3 ϕI + k 4 )]; k1 = -0,00731; k 2 = 1,06007; k3 =0,01029; k 4 = 1,051.

де p – середній тиск на основу за підошвою фундаменту; pu – граничний тиск на основу

pu=Nu/(b′ℓ′); R0=R – розрахунковий опір ґрунту, що визначають за формулою (12.1), коли

значення коефіцієнтів γc1=γc2=k=1,0.

Послідовність розрахунку, коли p>R, така: 1) визначають розрахункові характеристики ґрунтів вище і нижче від підошви фундаме нту; 2) знаходять розрахункові опори ґрунту R

та R0; 3) визначають осідання S основи від середнього тиску p, наприклад за методом пошарового підсумовування; 4) розраховують граничний тиск pu на основу; 5) визначають вели-

чини K p , Kгрp і x; 6) за значенням x та φI у таблиці 10.1 знаходять коефіцієнт Kплs ; 7) визна-

2.02.01-83*) дає глибину стислої товщі Hc=9,2 м та осідання S=4 см, що значно менше ніж Su=10 см. Тому пропонується розглянути можливість переходу на фундамент із шириною підошви b =1,6 м, яка передає на основу тиск p =0,446 МПа.

Відповідно до алгоритму методу О. К. Бугрова для фундаменту з шириною підошви b =1,6 м маємо:

x = (Kp −1) /(Kгрp −1) =(1,93-1)/(2,93-1)=0,48. За значенням x=0,48 іφ=30° у таблиці 10.1 зн а-

ходимо коефіцієнт Ksпл =1,37. Осідання пружно-пластичної основи при тискові p =0,446

235

МПа складе Sпл =SKsпл =5,1·1,37≈7 см < Su=10 см.

При тискові p=0,446 МПа та значеннях коефіцієнтів надійностіγ n=1,2 й умов роботи γc=0,9 (див. п. 2.58 СНиП 2.02.01-83*) несуча здатність основи забезпечується із запасом:

p=0,446 < 0,9 pu = 0,676 0,9 = 0,505 МПа. 1,2 1,2

Таким чином, наведені розрахунки показують, що фундамент із шириною підошви b=1,6 м може бути прийнято в якості проектного замість фундаменту з b=2,4 м.

Ці приклади підтверджують, що перехід на проектування фундаментів за деформаціями основ, для ґрунту яких допускається робота в пружно-пластичній стадії, дозволяє прийняти дещо менші розміри фундаментів будівлі при збереженні необхідної несучої здатності їх основ.

10.4. ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ЧИСЛОВИХ МЕТОДІВ

Як видно з п. 10.1 та 10.2, деформування ґрунтів під навантаженням являє собою дуже складний процес. Навіть при невеликому тискові їм притаманна нелінійна залежність між напругами та деформаціями або фізична нелінійність. При цьому значний відсоток деформації містить у собі пластична складова (див. п. 4.5). До особливостей НДС ґрунтових масивів відносять й одночасність існування в них областей, що перебувають у дограничному та граничному за міцністю стані. Природно, що властивості ґрунтів у цих зонах треба описувати різними рівняннями стану. Крім того, звичайно масиви містять у собі шари ґрунту з різними фізико-механічними властивостями. В межах зон із наведеними властивостями навколо фундаментів, що влаштовують без виймання ґрунту (див. п. 12.3), значення параметрів ґрунту теж змінюються залежно від їх природних характеристик, а також конструктивних, технологічних особливостей фундаментів тощо. Наявна у реальних ґрунтів і природна та наведена анізотропія (див. п. 4.10). Тобто для ґрунтових масивів характерна неоднорідність середовища. Складні геометричні форми подекуди мають і контури фундаментів, підземних споруд, границь шарів та зон ґрунтів тощо.

Зрозуміло, що винайти строгі аналітичні рішення для кожної з великої кількості задач прогнозу напружено-деформованого стану ґрунтового масиву дуже складно. Тому в інженерній практиці користуються методами, основаними на введенні спрощуючих передумов. Найбільше поширення в механіці ґрунтів отримав метод кінцевих (або скінченних) елементів (МКЕ), дещо менше – метод граничних елементів (МГЕ) й метод кінцевих різниць (МКР).

Метод кінцевих різниць. МКР найперший за часом із числових методів, що почав використовуватись у задачах механіки ґрунтів. Він орієнтований на розв’язання задач, що описуються рівняннями в частинних похідних. Стосовно задач теорії граничної рівноваги МКР широко застосовувався професорами В. В. Соколовським та В. А. Флоріним, а в розрахунках напружено-деформованого стану основ у нелінійній постановці – Є. Ф. Винокуровим.

Ідея МКР – у заміні частинних похідних у диференційних рівняннях задач на відношення різниці змінних, що називаються кінцевими різницями. Ось як професори С. Б. Ухов і В. В. Семенов (1994) пояснюють зміст цього методу.

Нехай є певна функція φ від аргументу x (рис. 10.7, а). Похідна dφ/dx у певній точці А дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної у точці А до кривої φ(x), тобто dφ/dx=tgα. Виділимо в оточенні точки А інтервал Δx достатньо малих, але кінцевих розмірів. Цьому інтервалу відповідає приріст функції Δφ. Тоді записуємо наближений вираз для похідної

причому вираз (10.11) буде тим точнішим, чим менший інтервал Δx. Якщо задача одновимірна й описується диференційним рівнянням, яке вміщує лише першу похідну функції φ(x), то необхідно розділити інтервал зміни аргументу x на кінцеве число ділянок Δx, обмежених ву-

Індексація при позначенні функції відповідає нумерації вузлів кінцево-різницевої сітки. Оскільки диференційні рівняння містять усі необхідні константи (зокрема, пружні характеристики K та G у задачах теорії пружності), то ці константи входять і до кінцеворізницевих співвідношень.

У підсумку диференційні рівняння крайової задачі заміняються кінцево-різницевими співвідношеннями, що об’єднуються в систему лінійних алгебраїчних рівнянь. Уведення граничних умов у вигляді фіксованих значень змінних чи їх похідних на границях розрахункової області робить систему рівнянь визначеною. Найчастіше у якості невідомих у задачах механіки ґрунтів фігурують переміщення, значення яких для кожного вузла кінцеворізницевої сітки знаходяться в результаті рішення системи рівнянь відомими методами лінійної алгебри. Через знайдені переміщення визначаються відносні деформації та напруги, тобто задача про напружено-деформований стан виявляється розв’язаною.

Характеристики властивостей середовища можуть бути як однаковими за всією розрахунковою областю, так і різними на окремих її ділянках. Це дозволяє вирішувати МКР задачі для неоднорідних середовищ. До недоліків МКР відносять складності при відтворенні границь розрахункової області й ділянок, які суттєво відрізняються за фізико-механічними властивостями. Цей метод не набув такого значного поширення, як МКЕ.

Метод кінцевих (скінченних) елементів (цей пункт написано спільно з професором С. Ф. Клованичем). МКЕ – потужний засіб розрахунку й теоретичного аналізу при проектуванні будівельних конструкцій і споруд, перевірки адекватності конкретних моделей ґрунту та обмеження областей їх застосування. Володіння цим методом становить незамінну частину професійних знань інженера-проектувальника. Ідеї МКЕ були відомі ще на початку XX

237

століття, та їх реалізація стала можливою в 60-х роках завдяки успіхам обчислювальної техніки.

Стосовно розрахунків основ і фундаментів вдалу апробацію пройшли прикладні програми з використанням МКЕ, розроблені І. П. Бойком, О. К. Бугровим, Г. В. Васильковим,

Д. М. Шапіро, В. Г. Шаповалом й іншими, програми вчених Нідерландів і США – PLAXIS, DIANA, FLAC. Зараз МКЕ є головним та найбільш універсальним із числових методів, які проклали шлях до повноцінного використання обчислювальних можливостей ЕОМ у проектуванні.

На думку професора І. П. Бойка МКЕ найбільш підходить для задач із розвиненою неоднорідністю характеристик міцності. Порівняно з класичними варіаційними методами МКЕ більш алгоритмічний і гнучкий при описі геометрії й граничних умов, фізично наочний та універсальний для широкого кола задач механіки. Перевагами, що забезпечують популярність МКЕ в геомеханіці, є також: простота отримання конкретних рішень за програмою; можливість згущення сітки КЕ в місцях, де очікують високі градієнти параметра, що досліджують; принципова можливість реалізації в програмах довільних механічних властивостей матеріалу, будь-якої послідовності навантаження; можливість оцінювання сумісної роботи основ і фундаментів без поділу на незалежні розрахунки за несучою здатністю та деформаціями тощо.

Основи МКЕ тепер викладають у курсі будівельної механіки (можна порекомендува-

Х. Кепплера та інших). Додаток цього методу до задач механіки ґрунтів докладно вміщено в монографіях: Ухов С. Б. Расчет сооружений и оснований методом конечных элементов. – М.: МИСИ, 1973 та Фадеев А. Б., Прегер А. Л. Решение геотехнических задач методом конечных элементов. – Томск: Изд-во Том. ун-та, 1994, а також у посібнику: Шапіро Д. М. Расчет конструкций и оснований методом конечных элементов. – Воронеж: ВГАСА, 1996.

Переваги МКЕ як числового методу полягають у наступному: 1) розрахунки конструкцій і середовищ, у т. ч. основ і фундаментів, зводяться до системи лінійних чи нелінійних алгебраїчних рівнянь безпосередньо без попереднього формулювання їх диференційних аналогів; 2) суцільне середовище розбивають на ряд елементів (КЕ), котрі можна розглядати як його конкретні частини (до речі, ці елементи можна вибирати таким чином, щоб їх робота відповідала умовам стандартних випробувань зразків ґрунтів чи матеріалів конструкцій); 3) основні процедури МКЕ стандартні й не залежать від розмірності та типів КЕ, що уніфікує ці процедури й дозволяє складати програмні комплекси для розрахунку середовищ, конструкцій і споруд широкого класу та призначення.

Коротко розглянемо основні положення МКЕ. Маємо тверде деформоване тіло, що знаходиться в рівновазі під зовнішнім впливом (рис. 10.8). Подумки розділимо його на КЕ. Виділимо типовий i-тий КЕ й припустимо, що він знаходиться під впливом лише зусиль взаємодії із суміжними КЕ, котрі викликані деформацією тіла. Ці сили відносно виділеного КЕ розглядаємо як зовнішні. Якщо тіло – у рівновазі, то й цей КЕ – теж у рівновазі. Прикладемо до нього замість реальних розподілених зусиль, які діють уздовж меж його стикування із суміжними КЕ, статично еквівалентні вузлові сили, отже, сили, дія котрих викликає у середині КЕ НДС, аналогічний тому, що був би в ньому від фактичного навантаження. Сукупність

цих зусиль представимо вектором стовпцем {R}i = {{R}(i1) {R}(i 2 ) ...{R}(i k ) ...{R}(i m ) }, де

{R}(i k ) = {R1( k ) R2( k ) ...{R}(r k ) }– вектор вузлових зусиль у k-му вузлі i-го КЕ, компонентами якого є еквівалентні сили за напрямами 1, 2,…r. Поставимо у відповідність кожному вузловому

239

Матриця має блочну структуру, з числом блоків, що відповідає загальній кількості вузлів системи p. Кожний блок матриці [K] визначають за формулою

де [K](i k ) – блок матриці жорсткості i-го елемента, що визначає реакції в k-му вузлі від оди-

ничних переміщень у ℓ-му вузлі.

Отже, параметри КЕ залежать від матриці інтерполяційних функцій, які пов’язують переміщення вузлів із переміщеннями в області елемента. Типовий блок інтерполяційної матриці представляють відповідно для об’ємної та вісесиметричної і плоскої задач

де E2 та E3 – одиничні матриці другого й третього порядків.

Інтерполяційні функції Ck(x, y, z) або Ck(x, y) у k-му вузлі, котрий розглядається, повинні дорівнювати одиниці, а в інших – нулю.

Відомі види КЕ відрізняються видом напруженого стану, видом і кількістю переміщень у вузлі та інтерполяційними функціями. Приклади ізопараметричних об’ємних, вісесиметричних і плоских елементів різних порядків наведені в табл. 10.2. Порядок КЕ визначають степенем інтерполяційного полінома та числом його вузлів. При цьому використовують криволінійну систему координат ξ, η, ς: -1≤ξ≤1; -1≤η≤1; -1≤ς≤1.

Таблиця 10.2. Різновиди кінцевих елементів

3-го

порядку

Вирази для інтерполяційних функцій у випадку об’ємних елементів мають вигляд: 1-го порядку із 8-ми вузлами у вершинах (k=1÷8)

Ck (ξ,η,ς ) = 18 (1 +ξkξ )(1 +ηkη )(1 +ςkς );

2-го порядку з 20-ма вузлами: для вузлів у вершинах

Ck (ξ,η,ς ) = 18 (1 +ξkξ )(1 +ηkη )(1 +ςkς )(ξkξ +ηkη +ςkς − 2 );

для вузлів у серединах сторін

Ck (ξ,η,ς ) = 14 C1C2C3 ;Cm =1 +ξmkξm +ξmkξm2 −ξm2 ,(ξm =ξ,η,ς ); 3-го порядку з 32-ма вузлами: для вузлів у вершинах

241

Для плоских та вісесиметричних КЕ в системі координатξ, ηвирази для інтерпол я- ційних функцій отримують із вищенаведених підстановкою в них ςkς=1.

Ізопараметричні елементи – криволінійні, що дозволяє апроксимувати тіла досить складної геометрії. Для опису геометрії КЕ використовують ті ж інтерполяційні функції, що й опису переміщення точок у середині його. Зв’язок між координатами точок у середині КЕ

де {x}(i k ) = {xk yk zk }– координати k-го вузла i-го КЕ. Матриця [C] та ж, що й у (10.15).

Матриці деформацій елемента [B] (10.16) містять похідні інтерполяційних функцій за

глобальними декартовими координатами. В той же час ці функції формулюють у місцевих нормалізованих криволінійних координатах. Координати перетворюють за формулою

де [J ] – матриця Якобі.

При інтегруванні за об’ємом КЕ у (10.19–10.22) елементарний об’єм у місцевих координатах dV = J dξdηdς , J – визначник матриці Якобі (якобіан). Заміна координат змінює й

ним, а dV = h J dξdη , h – товщина КЕ, а вісесиметричних dV =πr J drdz .

Матриці КЕ (10.19–10.22) знаходять числовим інтегруванням за об’ємом матричних добутків у глобальних координатах, зокрема за квадратурною формулою Гаусса-Лежандра.

Фізична та геометрична нелінійність, притаманні роботі основ і фундаментів (див. пп. 6.2, 10.1 та 10.2), зумовлюють при числових дослідженнях їх НДС необхідність розв’язання систем нелінійних алгебраїчних рівнянь. Розв’язуючим рівнянням методу переміщень МКЕ є рівняння рівноваги. Інформація про фізичну й геометричну нелінійність міститься в матриці

жорсткості конструкції (основи) [K], компоненти якої пов’язані з матрицями жорсткості окремих КЕ співвідношенням (10.26), а при деяких видах зовнішнього впливу (початкові деформації, напруги (10.22)) з вектором зовнішніх сил {P}, що визначають через вектори вуз-

лових сил КЕ (10.23). Характеристики окремих КЕ визначаються матрицями [D] і [B]. У фізично нелінійних задачах механічні параметри матеріалів, котрі визначаються матрицею [D], – складні функції компонентів деформацій, напруг чи переміщень, що встановлюються відповідно до фізичної моделі матеріалу: [D]= [D({q})]. У геометрично нелінійних задачах нелінійні: матриця [B]= [B({q})] та (або) вектор координат вузлів {x}= {x({q})}. В обох випа-