реологічного коефіцієнта жорсткості основи (Метелюк Н. С., 1986):

де C – коефіцієнт жорсткості лінійно-деформованої основи, визначений без урахування реологічних властивостей ґрунтів основи; ut – функція, що характеризує тривалість деформування основи, значення якої приймаються залежно від величини коефіцієнта стисливості ґрунту m0 за таблицею 18.4:

Таблиця 18.4. Значення функції ut.

18.5. РОЗРАХУНОК БАЛОК І ПЛИТ НА ДЕФОРМОВАНІЙ ОСНОВІ

Розв’язуючі рівняння для розрахунку балок і плит на деформованій основі вибираються залежно від використовуваної в розрахунках моделі ґрунтової основи.

Для моделі місцевих деформацій (модель Вінклера, коефіцієнта жорсткості С. Н. Клєпікова й ін.) розв’язуюче диференціальне рівняння вигнутої осі балки приймають у вигляді

де EI, GF – згинальна і зсувна жорсткості перетину балки; k' – поправковий коефіцієнт форми перетину балки; q(x) – розподілене навантаження, що діє на балку; p(x) – відпір ґрунту; S(x), M(x) – відповідно осідання і згинальний момент у перетині балки.

У формулі (18.49) Kz=Czb називають погонним коефіцієнтом жорсткості основи (кН/м2). При виведенні зазначеної формули прийнято, що q(x) є лінійна функція від x, у зв’язку з чим друга похідна цієї функції по x тотожно дорівнює

523

нулю. Якщо розраховується смуга плити, то замість згинальної жорсткості EI використовують циліндричну жорсткість D=EI/(1-ν2), де ν – коефіцієнт поперечної деформації матеріалу плити.

Рівняння (18.49) разом із граничними умовами зважується найчастіше методом кінцевих різниць (П. М. Варвак, С. М. Клепіков та інші). Якщо розраховується стіна будинку як балка на деформованій основі (друга група методів, див. п. 18.2), то під згинальною й зсувною жорст костями мають на увазі узагальнені жорсткості перетину стіни, визначені за формулами (18.5) і (18.8).

При розрахунку фундаментних балок на задані навантаження зсувною жорсткістю перетину балки, як правило, нехтують, вважаючи її нескінченно великою. У цьому випадку рівняння (18.49) приймає вигляд:

Загальний інтеграл рівняння (18.50) при постійному навантаженні q(x) є таким:

Довільні постійні C1,..., C4 визначаються в кожному окремому випадку з умови задоволення граничних умов.

При використанні моделі загальних деформацій, наприклад, лінійно деформованого півпростору, вираз для визначення осідання приймає інтегральну форму

S( x ) = ∫ p( x )K( x −ξ )dξ ;

де ν, Е – відповідно коефіцієнт Пуассона і модуль деформації ґрунту; K(x-ξ) – функція впливу для моделі лінійно деформованого півпростору; p(ξ) – шукана функція відпору ґрунту; L – довжина балки.

Розв’язуюче рівняння одержують підстановкою у формулу (18.50) вираз для осідання за формулою (18.52)

Із розв’язку інтегрально-диференціального рівняння (18.53) разом із граничними умовами визначають функцію відпору ґрунту р(x), а потім за формулами (18.52) обчислюють функцію осідань балки S(x).

У технічній літературі наявна достатня кількість інформації про методи

А. П. Синицина, С. М. Клепікова й інших. Ранні роботи з цієї проблеми в основному присвячені аналітичним рішенням, основаним на математичній теорії диференціальних та інтегрально-диференціальних рівнянь.

524

зонтальне переміщення балки, за напрямком якого в розрахунковій схемі поставлене закріплення, тотожно дорівнює нулю). Розв’язуючими рівняннями є n рівнянь нерозривності переміщень у розрізах стрижнів (n – кількість стрижнів, що зв’язують балку з основою) та два рівняння рівноваги проекцій усіх сил на вертикальну вісь і моментів усіх сил щодо закладання балки на лівому кінці. Для основи, прийнятої за моделлю загальних деформацій, специфічним є обчислення одиничних коефіцієнтів системи канонічних рівнянь методу сил (рис. 18.9, в). Тут використовується формула Б. Н. Жемочкіна для обчислення осідань лінійно деформованого півпростору від дії на його поверхні вертикального навантаження, розподіленої по прямокутній площі:

де Р – вертикальна сила, розподілена на площі c×b (b – ширина завантаженої ділянки); x – дискретна координата, кратна довжині завантаженої ділянки с; F – функція впливу, значення якої наведені в таблиці 18.5.

При обчисленні одиничних коефіцієнтів як навантаження у формулі (18.54) приймається одиничне значення невідомої сили в розрізі стрижня, а як площа розподілу цього навантаження може бути прийнята площа контакту балки з основою, замінена в розрахунковій схемі стрижнем. Таким чином, інтенсивність розподіленого навантаження у формулі Б. Н. Жемочкіна дорівнює 1/(bc), де b – ширина підошви балки; c – відстань між стрижнями, що моделюють зв’язок балки з основою. Переміщення основи від дії невідомої сили Zj=1 у напрямку сили Zi (рис. 18.9, в) визначиться за формулою

Примітка. Зверніть увагу на те, що при x≠0 дані таблиці 18.5 близькі до значення c/x.

526

Розв’язуюче рівняння задачі буде мати вигляд

де δijb – переміщення балки від невідомої сили Zj=1 у напрямку сили Zi (рис.

18.9, в); ϕ xi – переміщення у напрямку сили Zi від кутового переміщення балки в закладанні ϕ (рис. 18.9, г); s – переміщення у напрямку сили Zi від лінійного переміщення балки в закладанні s (рис. 18.9, д); ∆ip – переміщення у напрямку сили Zi від зовнішнього навантаження (рис. 18.9, е); ∆i ∆ – переміщення у напрямку сили Zi від вимушених переміщень основи (рис. 18.9, ж); xi , xj – координати точок додатка сил Zi і Zj ; ΣZp , ΣMp – відповідно сума проекцій сил та моментів сил від діючого навантаження на вертикальну вісь і щодо закріплення на лівому кінці балки.

Рішенням системи рівнянь (18.56) є величини сил взаємодії балки з основою Zi. Розподіл зазначених сил на площу їхнього розподілу bc дає величини відпорів основи по підошві балки, що виникають під час дії на балку експлуатаційних навантажень. При відомих відпорах основи розглянута конструкція стає статично визначною, у зв’язку з чим не виникає труднощів у визначенні внутрішніх зусиль у балці й у призначенні за цими зусиллями її конструктивних параметрів (розмірів поперечного перерізу, армування тощо).

Перше рівняння в системі рівнянь (18.56) можна представити в матричній

формі

З аналізу рівняння (18.57) можна відзначити наступні особливості розрахунку конструкцій на деформованій основі: при розрахунку конструкцій на

деформованій основі матриця податливості системи являє собою алгебраїчну суму матриці податливості конструкції і матриці податливості основи.

Для моделі загальних деформацій, наприклад, для моделі лінійно деформованого півпростору, матриця піддатливості основи є повною симетричною матрицею. Для моделі місцевих деформацій, наприклад, для моделі Вінклера, матриця податливості основи є діагональною матрицею, тобто елементи цієї матриці, розташовані не на діагоналі, тотожно дорівнюють нулю.

Розрахунок плит на пружній основі за методом Жемочкіна виконується за аналогічним алгоритмом з урахуванням координати y в площині плити. При цьому для обчислення коефіцієнтів матриці податливості основи використовується формула

527