6.4. МОДЕЛІ, ЩО ОПИСУЮТЬ СТАН ҐРУНТУ

Для розв’язання задач механіки ґрунтів звичайно обмежуються вивченням лише механічних явищ і відволікаються від фізико-хімічних та інших процесів, які відбуваються в ґрунтах. Таким чином, механіка ґрунтів має справу не з реальними гірськими породами, як із природно-історичними тілами, а з їх певними механічними моделями – тілами зі значно спрощеними властивостями порівняно з фактичними ґрунтами.

Спроби описати весь комплекс різних властивостей ґрунтів за допомогою однієї моделі потребують розроблення складного математичного апарату розрахунків, проведення трудомістких експериментів для визначення параметрів моделі і все-таки навряд чи можуть дати позитивний результат найближчими роками. Та навіть, якщо ці спроби й будуть успішними, то досить очевидно, що така модель виявиться практично непридатною для вирішення прикладних задач через її складність.

Відсутність єдиної “найкращої” моделі ґрунту призвела до створення великої кількості моделей, що так чи інакше застосовують у механіці ґрунтів. Як зазначає В. Г. Федоровський (1985), поділ моделей ґрунтів на класи навряд чи може бути однозначним, бо в одній моделі можна зустріти не лише характеристики різних напрямів, але і класифікаційних ознак дуже багато, причому ці ознаки досить тісно взаємопов’язані й не є незалежними.

Розглянемо спершу лише моделі ґрунтів, що зводяться до співвідношення типу “напруга – деформація” для елементарних об’ємів, а не моделі основ у цілому або контактні моделі. Найбільш загальний поділ усіх моделей можна виконати за ознакою, входить чи ні в їх рівняння час (у явній чи неявній формі). Моделі, що враховують часові ефекти, звичайно називають реологічними (або t-моделями). Їх отримують переважно зі статичних моделей (які час не беруть до уваги) додаванням в’язкості (як це нижче розглянуто в моделях Максвелла чи Бінгама) в тій чи іншій формі. Є й більш складні t -моделі, котрі не виводяться прямо із статичних. До цих моделей примикає й розгляд взаємодії скелета ґрунту з поровою рідиною.

Детально реологічні моделі ґрунтів розглянуті в посібнику: Вялов С. С. Реологические основы механики грунтов. – М.: Высш. школа, 1978; монографіях: Ширинкулов Т. Ш., Зарецкий Ю. К. Ползучесть и консолидация грунтов. – Ташкент: Фан, 1986; ТерМартиросян З. Г. Реологические параметры грунтов и расчеты оснований сооружений. – М.: Стройиздат, 1990.

де t0 – час розвантаження; τ0 і γ0 – напруга й деформація, що відповідають цьому моменту. При постійній деформації γ=const вираз (6.19) описує релаксацію напруг (рис. 6.7, в):

де τ0 – початкове значення напруги (при t=0); τ∞ – кінцеве значення напруги (при t=∞). Таким чином, узагальнене рівняння (6.19) описує як процес пружної післядії, так і

процес релаксації, при цьому на відміну від (6.12) вираз (6.19) ураховує миттєву деформацію, а на відміну від (6.15) передбачає падіння напруги не до нуля, а до певної кінцевої величини.

Пружно-пластичне тіло Прандтля моделюють послідовним з’єднанням елемента Сен-Венана і пружного елемента Гука (рис. 6.10, а). Воно показує, що при напругах τ<τT розвивається пружна деформація γ=τ/G, а при τ=τT – необмежена деформація γ→∞.

Модель пластично-в’язкого тіла Бінгама складається з пружного H, в’язкого N елементів й елемента Сен-Венана SV (рис. 6.10, б): B=H–(N/SV). Закономірність його деформування виводять з умови τ=τH+τT:

Модель іншого пластично-в’язкого тіла Шведова – з’єднання двох пружних елементів H0 і H1 з в’язким N та сен-венановим SV елементами (рис. 6.10, в): SW=H0–[(N1-N)/SV]. Рівняння його деформування має такий вигляд:

Значне розходження між дійсними властивостями реальних ґрунтів та їх модельним відображенням привело до побудови більш складних багатоелементних моделей із великою (але кінцевою) кількістю пружних і в’язких елементів. У загальному випадку диференційне рівняння таких реологічних моделей має вигляд

де αi, βi – коефіцієнти, що враховують особливості завантаження й властивості елементів моделі. При α3 = ... =αn+1 = β3 = ... = βn+1 = 0 це рівняння переходить у (6.19).

Інший загальний поділ усіх моделей ґрунту пов’язаний із підходом до побудови залежності “напруга – деформація”. З урахуванням того, що ґрунт за своєю природою є не суцільним, а дискретним середовищем, його реальною моделлю може бути модель, яка б статистично описувала взаємодію окремих часток з урахуванням фізичного виду зв’язків між ними. Цей напрям називають мікропідходом.

Найбільш відомим результатом його є імітаційна ймовірнісна модель І. І. Кандаурова (більш детально про неї та аналогічні моделі – в книзі: Кандауров И. И. Механика зернистых сред и ее применение в строительстве. – Л.: Стройиздат, Ленингр. отд-ние, 1988), яка розглядає закономірності розподілу напруг у дискретному сипучому середовищі, виходячи із ста-

161

Через те, що використання таких моделей не дає змоги визначати деформації середовища, які відповідають моменту настання граничної рівноваги, їх іноді називають “бездеформативними”. Ще один недолік системи рівнянь (6.29) полягає в тому, що вона дає задовільні результати лише за умови постійності значень характеристик міцності та деформативності ґрунтів усіх елементів масиву в будь-який момент його роботи. Між тим, у загальному випадку ці показники змінні як в елементах масиву за глибиною і в плані, так і в кожному з них при зміні тиску на ґрунт.

У зв’язку з цим часто в розрахунках використовують рішення змішаної задачі теорії лінійно деформованого середовища та теорії граничної рівноваги. Згідно з ним (моделі Б. Й. Дідуха, О. Л. Крижанівського, Ю. М. Мурзенка, З. Мруза, К. Роско, А. Скофільда й інших) рівняння рівноваги виконуються за усім масивом, що розглядають, рівняння сумісності

– в пружній області і рівняння граничної рівноваги – в області пластичних деформацій. Значення механічних властивостей ґрунтів моделі В. М. Ніколаєвського, О. К. Бугрова, Д. М. Шапіро та інших коригують урахуванням швидкості дилатансії (див. п. 4.9).

Раціональним застосуванням теорії граничної рівноваги є розрахунки стійкості споруд і основ, укосів, схилів, тиску ґрунту на огорожі (див. розділ 8).

Моделі пружно-пластичного середовища та теорії пластичної течії – це набір рів-

нянь, що визначають границі пружної поведінки середовища й зв’язок деформацій і напруг (або їх приростів) за межею пружної області. Вони базуються на диференціальних співвідношеннях між напругами та деформаціями й можуть ураховувати закономірності зміни механічних властивостей ґрунту як у процесі експерименту, так і в натурних умовах. Для цього в систему рівнянь пружно-пластичних деформацій уводять функції, що враховують змінні за ходом експерименту значення модулів зрушення, об’ємної деформації, загальної деформації, коефіцієнтів Пуассона. Всі ці варіанти пружно-пластичних середовищ відносять до дефор-

маційних теорій.

Компоненти деформацій і напруг у цих моделях поділяють на пружні й пластичні складові (лінійних) та кутових деформацій. Пружні складові деформацій описують вищенаведеними диференційними рівняннями рівноваги, рівняннями нерозривності, фізичними рівняннями теорії пружності. Пластичні складові описують диференційними співвідношеннями деформацій і напруг.

Лінія 3 на рис. 6.11 відображає властивості досить поширеної моделі ідеального пру- жно-пластичного тіла (діаграма Прандтля), що є сполученням рівнянь лінійно деформованого та жорстко-пластичного тіл. У цій моделі межі пропорційності, текучості й міцності збігаються (точка А). Залежність OAB (рис. 6.11) відповідає формам фізичної нелінійності, що проявляються у безперешкодному деформуванні при граничному напруженому стані: текучості, повзучості, однобічних зв’язках.

Як правило даний клас моделей дає змогу отримувати більш точні результати за р а- хунок більш чіткої фіксації напруг і деформацій у той чи інший момент навантаження ґрунту. До його проблем відносять використання припущення про ізотропність середовища, чого немає (згадаймо п. 4.10) навіть у природному однорідному ґрунті, та опис середовища, яке або лише зміцнюється, або тільки знеміцнюється.

Моделі, що базуються на концепції критичного стану ґрунту (або КС-моделі) (перед ознайомленням із цим пунктом бажано переглянути п. 4.9), – відносно нова група ґрунтових моделей, основаних на закономірностях поведінки ґрунту при зсуванні, зокрема зміні його щільності від початкової до критичної. На сьогодні найбільш відомі дві схеми розроблення цих моделей:

–перша (моделі В. М. Ніколаєвського, «Cam-clay» (кембріджська глина) Скофільда-Рота та К. Роско тощо), коли в розрахунок пружно-пластичних деформацій уводять залежність між швидкістю зміни об’єму та механічними характеристиками ґрунтів. У систему розв’язуючих рівнянь включають: диференціальне рівняння рівноваги; рівняння граничної рівноваги; залежність, яка коригує механічні властивості ґрунтів при пластичних деформаціях;

ють нулю (β=90°).

Приймемо як постулат, що переміщення точки М1 у напрямі радіуса, виключаючи зону біля точки прикладення сили N, дорівнює

де B – коефіцієнт пропорційності.

Ця залежність може бути виведена із закону всесвітнього тяжіння й задовольняє граничні умови, наведені вище.

Розглянемо тепер точку М2, яка знаходиться на відстані dR від точки М1. Переміщення для точки М2

Для визначення добутку коефіцієнтів B та C умовно відсічемо частину напівпростору півкульовою поверхнею (рис. 7.1, б). Складемо рівняння проекцій на вісь Z усіх сил, що діють на відсічений елемент, для невагомого середовища. Тоді

0

де dA – поверхня елементарного кульового пояса, яка дорівнює dA= 2π(R sin β)(Rdβ).

Підставляючи вираз для dA в (7.6), одержимо після інтегрування і підстановки меж інтегрування

N − 23 BCπ = 0 .

Звідси добуток невідомих коефіцієнтів

Підставляючи вираз (7.7) у (7.5), одержимо

Напруга σR діє на похилу площадку dA.

Розглядаючи рівновагу елементарної трикутної призми (рис. 7.1, в), складемо рівняння проекцій усіх сил на вертикальну вісь:

σ zdA−σR cos βdA= 0 cos β

Аналогічно знаходимо дотичні напруги:

τzy = K yNz ;

τzx = K xNz .

Значення коефіцієнта К можна знайти в таблицях залежно від співвідношення r/z.

Якщо на поверхні масиву прикладені кілька зосереджених сил, то, виходячи з принципу незалежності дії сил, стискуючу напругу для горизонтальних площадок, паралельних обмежуючій площині, можна визначити простим підсумовуванням (рис. 7.2)

167

Визначаючи зміни напруги при віддаленні від лінії дії сили в боки, будують епюри для необхідних постійних глибин z1, z2 і т.д. (рис. 7.3, в). Максимальне значення напруга має по осі Z і зменшується за криволінійним законом при віддаленні від цієї осі. Чим глибше розміщена горизонтальна площина, тим менші максимальне значення напруг і криволінійність епюри.

Для визначення розміщення в ґрунті зони з однаковим напруженим станом будують лінії однакових напруг (ізобари), з’єднуючи точки з однаковими значеннями напруг (рис. 7.3, г).

Дія місцевого рівномірно розподіленого навантаження

Усправжніх умовах роботи споруд навантаження на ґрунт не передаються у вигляді зосереджених сил, а розподіляються по площадках обмежених розмірів.

Увипадку прямокутної площадки і рівномірно розподіленого навантаження розв’язання в кінцевій формі є тільки для визначення вертикальних нормальних напруг у точках, які розміщуються на вертикалях, що проходять через центр площадки та її кути.

Найпростіше рішення одержано А. Лявом у 1935 p.