12.5 Розв’язання задач нелінійного програмування

12.5.1 Розв'язати методами золотого перетину, випадкового пошуку, Фiбоначчi та дихотомії нижченаведені задачі одновимірної оптимізації.

1) F(x) = |||x²–1|–1|–1|, x Î [–2, 2];

2) F(x) = 2x³–3x²–12x+1+, x Î [–2, 2];

3) F(x) = (x+1)² ln(x+1)+x exp(–x), x Î [0, e];

4) F(x) = sin(x) sin(2x) + arccos(x²), x Î [–0.75, 0.75];

5) F(x) = arctg(x) – ln(x)/2, x Î [0.65, 1.75];

6) F(x) = x+ + exp(x) x², x Î [0, 4];

7) F(x) = 4 x/(x² + 4)–[x² (x – 2)]^(2/5), x Î [–2, 2].

12.5.2 Розв'язати квадратичним симплекс-методом нижченаведені задачі опуклого квадратичного програмування. У всіх задачах виконуються умови: x₁ ³ 0, x₂ ³ 0.

1)	x12 + x22 –2 x1 – 4 x2 ® min,	2)			–2 x12 – 3 x22 + 4 x1 x2 + 12 x2 ® max,
	2 x1 + 3 x2 £ 6;				3 x1 + 4 x2 £ 12;
3)	2 x12 + x22 – x1 x2 – x1 ® min,			4)			x12 + 3 x22 – x1 – 2 x2 ® min,
	x1 + 2 x2 £ 1;						x1 + 4 x2 £ 7;
5)	–2 x12 – 3 x22 + 16 x1+ 24 x2 ® max,							6)	x12+ x22 – 3 x1 – 8 x2 ® min,
	2 x1 + x2 £ 4;								x1 +2 x2 £ 4;
7)	–x12 – x22 + x1 + 2 x2 ® max,		8)			–x12 – x22 + x1 x2 + 5 x1 + 2 x2 ® max,
	x1 + 2 x2 £ 16;					2 x1 +3 x2 £ 15.

Відповіді: 1) x* = (0.69; 1.54). 2) x* = (1.23; 2.07).

3) x* = (0.29; 0.14). 4) x* = (0.5; 0.33).

5) x* = (0.57; 2.86). 6) x* = (0.4; 1.8).

7) x* = (0.5; 1). 8) x* = (3.63; 2.58).

12.5.3. Знайти оптимум функцій, що задані нижче методами множників Лагранжа і квадратичним симплекс-методом

1. f(x₁,x₂)=x₁²+x₂², 2. f(x₁,x₂)=3x₁²+2x₂²–3x₁+1,

x₁+x₂=1. x₁²+x₂²=4.

3. f(x₁,x₂)=x₁²–x₂², 4. f(x₁,x₂)=2(x₁–1)²+3(x₂–3)²,

x₁–x₂=4. x₁+x₂=6.

5. f(x₁,x₂)=(x₁–3)²+(x₂–5)², 6. f(x₁,x₂)=x₁²+2x₂²–4x₁,

x1–2x₂=5. –x₁+2x₂=1.

7. f(x₁,x₂)=4x₁²+20x₂+6x₂², 8. f(x₁,x₂,x₃)=2x₁+3x₂²+x₃²,

x₁+x₂=200. x₁+x₂+x₃=8.

9. f(x₁,x₂)=6[(x₁–2)²+(x₂–3)²], 10. f(x₁,x₂)=4x₁+8x₂+x₁²+x₂²,

x₁+x₂–7=0. x₁+x₂=180.

12.6 Розв’язання матричних ігор

12.6.1. Знайти сідлові точки і значення наведених нижче матричних ігор:

а) б)в)

г) д)

Відповіді: а) (1,1), v = 2: б) (1,3), v = 3;

в) (1,2), (2,2), (3,2), (4,2), v = 3;

г) (2,1), v = 1/2; д) (2,2), v=3.

12.6.2. Визначити виграш першого гравця в ситуації (х, у):

а) x = (1/4, 3/4), y = (4/5, 1/5);

б) x = (1/9, 1/9, 5/9, 2/9), y = (0, 0, 1);

Відповіді: а) 0,55; б)1/3.

12.6.3. Розв’язати симплексом-методом такі ігри:

а) б)в)

Відповіді: а) х* = (1/7, 2/7, 4/7), v = 15/7; у* = (1/7, 2/7, 4/7).

б) x* = (2/5, 1/9, 22/45), v = 142/5; y* = (5/9, 1/5, 11/45).

в) x* = (1/3, 2/3, 0), v = 1, y* =

= α(1/5, 3/5, 1/5) + (1- α)(0, 2/3, 1/3), 0 ≤ α ≤ 1.

12.6.4. За яких умов наведена нижче матрична гра має сідлову точку у чистих стратегіях?

Відповідь: якщо 0 < а < b < c, то (i*, j*) =(1, 1), v = a;

якщо 0 > a > b > c, то (і*, j*) = (1, 2), v = b; і т.д.