Решение

Определяем долю коммерческих киосков, у которых выявлены финансовые нарушения:. Тогда доля киосков, у которых отсутствуют финансовые нарушения, будет:.

Среднее значение альтернативного признака:. Дисперсия альтернативного признака составит:= 0,85 · 0,15 = 0,128, а среднее квадратическое отклонение:.

Пример 6. Имеется следующая аналитическая группировка зависимости средней заработной платы рабочих от возраста.

Группы ра-бочих по возрасту,лет	Число рабо- чих, fi	Средняя заработная плата, грн, у
до 20,0	5	280, 320, 360, 350, 290	1600	320
20,0 – 30,0	8	420, 400, 510, 490, 380, 440, 480,500	3600	450
30 и старше	7	570, 600, 680, 630, 560, 440, 620	4200	600
всего	20		9400	470

Определите: 1) общую, межгрупповую и среднюю из внутригрупповых дисперсий; 2) проверьте правило сложения дисперсий.

Решение

1. Общая дисперсия по заработной плате рассчитывается по формуле простой дисперсии: .

где средняя заработная плата всех рабочих;

грн

13450

Межгрупповая дисперсия:

11700,

где - средняя зарплата поi-группе, представлены в таблице.

Средняя из внутригрупповых дисперсий. Вначале рассчитываем дисперсии по каждой группе:

;

2025;

Тогда средняя из внутригрупповых дисперсий будет:

.

2. Правило сложения дисперсий:=+;13450 = 11700 + 1750.

Задачи для самостоятельного решения

5.1. По имеющимся данным о производстве изделий двумя бригадами рабочих определите для каждой бригады: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию, коэффициент вариации, сравните степень однородности распределения по производству изделий.

Произведено изделий за смену, шт.
1 бригада	2 бригада
2	8
3	9
12	10
15	11
18	12

5.2. По имеющимся данным о производительности труда 50 рабочими определите абсолютные показатели вариации. Сделайте выводы.

Произведено продукции одним рабочим за смену,шт.	Число рабочих,чел.
8	7
9	10
10	15
11	12
12	6
Итого	50

5.3. На основе данных об урожайности ржи и размерах посевных площадей определите дисперсию и среднее квадратическое отклонение (двумя способами) и коэффициент вариации; моду и медиану.

Урожайность ржи, ц/га	Посевная площадь, га
14 - 16	100
16 - 18	300
18 - 20	400
20 - 22	200
Итого	1000

5.4. Из 150 выпускников средней школы 20 человек получили золотые и серебряные медали. Определите: дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации доли медалистов.

5.5. Имеются следующие данные о размере семей в районе (по числу человек в семье): 3, 4, 5, 7, 2, 1, 4, 6, 6, 5, 5, 7, 7, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 1, 3, 3, 5, 5, 6, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 2. Составьте дискретный вариационный ряд. Определите структурные средние распределения. Дайте графическое изображение ряда.

5.6. По данным о успеваемости по статистике студентов двух групп определите, в какой группе более ровная успеваемость студентов.

Оценка на экзамене, балл	Численность студентов в группе, чел.
	1 группа	2 группа
5	7	2
4	9	16
3	6	7
2	3	0
Итого	25	25

5.7. Распределение студентов одного из факультетов по возрасту характеризуется данными:

Возраст студентов, лет	17	18	19	20	21	22	23	24	Итого
Число студентов, чел.	20	80	90	110	130	170	90	60	750

Определите: 1) средний возраст студентов факультета; 2) показатели вариации (размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации); 3) коэффициент асимметрии. Сделайте выводы о форме распределения.

5.8. Определите среднюю длину пробега автофургона торгово-посреднической фирмы, все относительные показатели вариации и коэффициент асимметрии, если известны:

Длина пробега за один рейс, км	30-50	50-70	70-90	90-110	110-130	130-150	Всего
Число рейсов за квартал	20	25	14	18	9	6	92

9. Дисперсия признака равна 9, средний квадрат индивидуальных его значений – 130. Чему равна средняя?

9. Средняя величина признака в совокупности равна 19, а средний квадрат индивидуальных значений этого признака – 397. Определите коэффициент вариации.

9. Крестьянские хозяйства района подразделяются по размерам земельных наделов следующим образом:

Размер земельных наделов, га	Кол-во хозяйств
До 4,0	20
4,0-6,0	50
6,0-8,0	60
8,0-10,0	40
Свыше 10,0	30
Всего	200

Исчислите: 1) абсолютные и относительные показатели вариации; 2) структурные характеристики распределения хозяйств по размерам земельных наделов; 3) показатели формы и дифференциации распределения.

9. По условию задачи 5.11. проверьте гипотезу о соответствии эмпирического распределения нормальному закону распределения с помощью критерия Пирсона.

9. Известно следующее распределение населения области по размеру вклада в сберегательном банке:

Размер вклада, тыс.грн	До 1,0	1,0-3,0	3,0 –5,0	5,0 –7,0	Свыше7,0	Итого
Количество вкладчиков, тыс.чел.	20,0	40,0	25,0	10,0	5,0	100

Определите: 1) степень однородности распределения вкладчиков по размерам вклада; 2) показатели дифференциации распределения. Постройте кривую Лоренца. Сделайте выводы.

5.14. По условию задачи 5.13 аналитически и графически определите моду и медиану распределения. Сделайте выводы.

5.15. По условию задачи 5.13 определите показатели формы распределения, т.е. коэффициенты асимметрии и эксцесса. Сделайте выводы.

5.16. В трех партиях продукции, представленных на контроль качества, было обнаружено: а) первая партия – 1000 изделий, из них 800 годных; б) вторая партия – 800 изделий, из них 720 годных; в) третья партия – 900 изделий, из них 850 годных

Определите в целом по трем партиям дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации годной продукции.

5.17. Распределение семей по уровню среднедушевого дохода - числу минимальных заработных плат в месяц:

Среднедушевой доход – число минимальных зарплат в месяц	До 2	2- 4	4- 6	6- 8	8- 10	10- 12	12 и более	Все го
Количество семей	100	140	160	280	220	60	40	1000

Для анализа дифференциации семей по уровню среднедушевого дохода рассчитайте: 1) квантили и децили распределения семей; 2) децильный коэффициент дифференциации населения по уровню среднедушевого дохода; 3) коэффициент Джинни. Проанализируйте полученные результаты.

5.18. По условию задачи 5.17. проверьте гипотезу о соответствии эмпирического распределения нормальному закону распределения с помощью коэффициентов асимметрии и эксцесса.

5.19. Кожевенно-обувной комбинат планирует выпускать в 2003 году 10000 пар женской обуви которые по размерам распределялись следующим образом:

Размер обуви	34	35	36	37	38	39	40	41	Всего
Удельный вес обуви, %	5,3	19,6	26,3	27,3	9,0	6,5	4,0	2,0	100

Фактический спрос женщин на размеры обуви был следующим:

Размер обуви	34	35	36	37	38	39	40	41	Всего
Удельный вес обуви, %	5,5	9,5	24,8	29,2	16,7	8,5	3,8	2,0	100

Определите, верна ли стратегия предприятия по выпуску женской обуви, используя проверку статистической гипотезы “о существенности разности средних” с помощью t – критерия.

5.20. По результатам выборочного обследования домохозяйств области о размере среднемесячного совокупного дохода было получено следующее распределение:

Среднемесячный совокупный доход на одного члена домохозяйства, грн	Удельный вес домохозяйств, в % к итогу
	город	село
До 50	7,3	29,6
50 - 100	32,3	38,6
100 - 150	26,2	10,7
150 - 200	18,4	16,4
200 - 300	8,9	3,2
300 - 500	4,5	1,1
Свыше 500	2,8	0,4
Всего	100	100

Определите: 1) степень однородности (неоднородности) распреде-ления домохозяйств по размеру среднемесячного совокупного дохода, дифференцированно по городу и селу; 2) сравните степень однороднос-ти распределения домохозяйств, сопоставив относительные показатели вариации; 3) рассчитайте структурные характеристики распределения домохозяйств по городу и селу, в частности, моду, медиану и квартили распределения. Сделайте выводы по результатам расчетов.

5.21. По данным задачи 2.17 рассчитайте виды дисперсий по выпуску продукции. Проверьте правило взаимосвязи между дисперсиями.

5.22. На основе исходных данных задачи 2.21 определите: 1) межгрупповую дисперсию результативного фактора; 2) общую дисперсию. На основе правила сложения дисперсий определите среднюю из групповых дисперсий.