Решение

1а. Определяем структурные характеристики ряда распределе-ния, т.е. моду медиану, квартили, децили по рассмотренным выше формулам этих характеристик для интервальных вариационных рядов.

Для выбора соответствующего интервала предварительно опре-делим накопленные частоты , (табл. 5.4, гр. 4).

Модальный интервал – это интервал с наибольшей частотой , тогдагрн.

Большинство семей имеют среднедушевые доходы в размере 196,67 грн. Медианным является интервал , т.к. для него первая накопленная частота больше половины объема совокупности, т.е. 120100. Тогда медиана будет равна: грн.

Половина семей имеют среднедушевые доходы, не превышаю-щие доходы 202 грн., а у другой половины семей среднедушевые доходы, соответственно, выше 202 грн.

Интервал, в котором будет находиться первый квартиль() рас-пределения,, т.к. ему соответствует первая накопленная час-тота, большая

; а интервал, в котором находится третий квартиль(), будет, т.к. ему соответствует>

.

Тогда соответствующие квартили будут равны:

грн; грн.

Среднедушевые доходы, не превышающие 180 грн., получают не менее четверти (25%) из всей совокупности семей, а в размере, не превышающем 230грн., не менее 75% всех семей.

Более детальная характеристика распределения может быть получена на основе децилей распределения. Интервалы соответствующих децилей определяются аналогично по соответствующим накопленным частотам. Например, находим первую, - это будет

; тогда соответствующий ей интервал будет тем интервалом, в котором находится первый дециль (d₁) – и т.д.

Рассчитаем соответствующие децили:

грн; грн;

грн; грн;

грн; грн;

грн; грн;

грн. Первый дециль показывает, что у 10% семей с самым низким среднедушевым доходом самый высокий размер среднедушевого дохода составляет 160 грн., а девятый дециль, - что среди 10% семей с самым высоким уровнем дохода – нижняя его граница составляет 254 грн.

1б. Анализ формы, дифференциации и концентрации распределения проводится с помощью системы специальных коэффициентов, в частности, рассчитываются:

- относительный показатель асимметрии (), показатель эксцесса (), коэффициент децильной дифференциации (), индекс Джинни (К^{2 Дж}).

Дополнительно используется графическое изображение степеней неравномерности распределения вариационного ряда в виде кривой Лоренца.

Относительный показатель асимметрии исчислим как:

; грн;

33,3 грн;

.

, т.е. это свидетельствует о наличии правосторонней асим-метрии, при этом она незначительная, т.к.. Наиболее точ-ным выступает коэффициент асимметрии, рассчитанный на основе третьего центрального момента:

; ;

Для проверки существенности (или несущественности) асимметрии определяется средняя квадратическая погрешность коэффициента асимметрии():;,т.е.асим-метрия несущественна в данном вариационном ряду. Так как приведенное распределение симметричное, то для таких распределений дополнительно рассчитывается коэффициент эксцесса:

; ;;.

Значение свидетельствует о том, что распределение низко-вершинное или плосковершинное.

Для проверки гипотезы о статистической существенности эксцес-са рассчитываем среднеквадратическую ошибку эксцесса:

_. Если, то гипотеза о статистической существенности экс-цесса не отвергается:т.е. 6,72 >3. Это подтверждает ги-потезу о статистической значимости (или существенности) эксцесса.

Для оценки степени дифференциации признака в совокупности рассчитаем коэффициент децильной дифференциации:

Это означает, что в 1,6 раза наименьший среднедушевой доход 10% семей, имеющих наибольшие доходы, больше наибольшего сред-недушевого дохода из 10% семей, имеющих самые низкие среднедуше-вые доходы.

Анализ дифференциации (или концентрации) распределения признаков основан на построении кривой Лоренца и расчета индекса дифференциации или коэффициента Джинни.

По данным таблицы 5.4 построим кумулятивные относительные показатели изучаемого признака (среднедушевого дохода) и частот (чис-ла семей), т.е. относительные показатели числа единиц в группах и раз-мерах признака (среднедушевые доходы) выражаются в относительных величинах (в долях или процентах к итогу) и определяются их накоп-ленные значения (табл.5.5, гр.5 и 8). Для построения кривой Лоренца по горизонтальной оси графика откладываются значения графы 5, а по вер-тикальной - значения графы 8, и соединение этих точек образует кривую Лоренца, характеризующую равномерность и степень концентрации распределения рабочих по уровню среднедушевого дохода (рис. 5.3).

х _сиm %

fсиm,%

линия фактического распределения семей по среднедушевому доходу

линия равномерного распределения

Рис.5.3. Кривая Лоренца

Для количественной оценки меры концентрации рассчитывает-ся коэффициент концентрации Джинни:

= 1 – 2 · 0,538015 + 0,1500335 = 0,074.

Соотношение линий равномерного и фактического распределения (рис.5.3), а также значение коэффициента близкое к 0, свидетельствует о достаточно равномерном распределении семей по среднедушевомудоходу и, соответственно, о незначительной степени концентрации.

2. Проверяем гипотезу о соответствии эмпирического распределения семей по среднедушевому доходу нормальному закону распределения, используя критерий согласия К. Пирсона или χ² - критерий.Таблица 5.4

Распределение семей по среднедушевому доходу

Среднеду-шевые доходы, грн	Число се- мей	Закрытые ин-тервалы сред-недушевых доходов, грн		х	xf	x 2 f
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
До 150,0	10	130 - 150	10	140	1400	196000	- 64,5	- 2683361,25	173076800,625	41602,5
150,0 -170,0	20	150 - 170	30	160	3200	512000	- 44,5	-1762422,5	78427801,25	39605
170,0 -190,0	40	170 - 190	70	180	7200	1296000	- 24,5	- 588245	14412002,5	24010
190,0 -210,0	50	190 - 210	120	200	10000	2000000	- 4,5	- 4556,25	20503,125	1012,5
210,0 -230,0	30	210 - 230	150	220	6600	1452000	15,5	111716,25	1731601,875	7207,5
230,0 -250,0	25	230 - 250	175	240	6000	1440000	35,5	1118471,875	33705751,625	31506,25
Свыше 250,0	25	250 - 270	200	260	6500	1690000	55,5	4273846,975	237198501,5625	77006,25
Итого	200				40900	8586000		465450,0	544572962,5	221950

Таблица 5.5