4.3.2. Оценка точности взаимного положения двух определяемых пунктов
В ряде случаев практического использования геодезического обоснования необходимо рассчитать точность взаимного положения двух определяемых пунктов mi-j. Для вывода расчетной формулы запишем приращение координат по оси Х как функцию уравненных координат
F = I-J = j – i. (4.34)
Для нахождения СКО функции (4.34) применим известную формулу для оценки точности функции двух коррелированных аргументов [11]
.
(4.35)
Применяя к функции (4.34) формулу (4.35), получаем
(4.36)
По определению коэффициента корреляции имеем
(4.37)
где KxIxJ – корреляционный момент между ошибками двух аргументов, который может быть вычислен через СКО веса и соответствующий недиагональный элемент матрицы весовых коэффициентов Q по формуле
(4.38)
Подставляя выражение (4.38) в (4.37) и, соответственно, в (4.35), а также выражая СКО координат через соответствующие диагональные элементы матрицы Q, получаем следующую формулу:
(4.39)
или в окончательном виде
(4.40)
По аналогии получим формулу для вычисления СКО взаимного положения пунктов по оси ординат
(4.41)
Общая ошибка взаимного положения двух определяемых пунктов i и j может быть вычислена
(4.42)
Для рассматриваемого варианта вычисления по формулам (4.42) и (4.33) приведут к идентичным результатам, поскольку в сети только один определяемый пункт. Если, например, в сети два определяемых пункта 3 и 4 и матрица весовых коэффициентов представлена объектом следующего типа (табл. 4.22), то СКО взаимного положения двух определяемых пунктов 3 и 4 будет равна
Таблица 4.22
Матрица весовых коэффициентов для сети, состоящей из двух определяемых пунктов
|
|
ΔX3 |
ΔY3 |
ΔX4 |
ΔY4 |
|
ΔX3 |
0,0139 |
0,0000 |
0,0044 |
0,0000 |
|
ΔY3 |
|
0,0227 |
0,0000 |
0,0158 |
|
ΔX4 |
|
|
0,0159 |
0,0000 |
|
ΔY4 |
|
|
|
0,0158 |
4.3.3. Оценка точности определения дирекционного угла
Точность ориентирования геодезического обоснования определяется СКО дирекционного угла, расположенного в наиболее слабом месте геодезической сети. В ряде случаев инженерной геодезии эта точность является приоритетной, в частности, в ИГС, предназначенных для геодезического обеспечения строительства метрополитенов, крупных канализационных коллекторов и других подземных сооружений.
СКО функции от координат определяемых пунктов ИГС определяется по следующей известной формуле ТМОГИ:
(4.43)
где вес оцениваемой функции может быть вычислен по формуле
где f1, f2, f3, f4 – частные производные оцениваемой функции (например, дирекционного угла) по соответствующим параметрам (координатам определяемых пунктов).
Для получения формулы по вычислению СКО выразим дирекционный угол как функцию от координат соответствующих пунктов
(4.44)
и, взяв соответствующие частные производные, получаем следующие выражения:
Отсюда следует, что частные производные функции (4.44) вычисляются как соответствующие коэффициенты в параметрических уравнениях поправок. При этом размерность Si-j должна соответствовать размерности при вычислении коэффициентов параметрических уравнений поправок (4.28).
Например, для рассматриваемого варианта сети триангуляции, с матрицей весовых коэффициентов (табл. 4.22), для дирекционного угла линии 3-4 имеем значения частных производных f1 = 0; f2 = 4,12; f3 = 0; f4 = -4,12. Подставляя полученные значения частных производных и соответствующие весовые коэффициенты матрицы Q в формулу (4.33) для триангуляции 4-го класса, будем иметь следующее значение СКО дирекционного угла:
