4.4.6. Система, принимающая решения по максимальной вероятности

Для большей наглядности обучающий алгоритм будем иллюстриро­вать на выделенных узлах подсистемы горячего водоснабжения АСУ ТП, структурная схема которых приведена на рис. 4.54.

Рис. 4.54. Структурная схема узла подсистемы горячего водоснабжения

Горячая вода поступает в два помещения, при этом на трубопрово­дах установлены для первого помещения водосчетчик 1, датчик темпера­туры 2 и датчик давления 5, для второго помещения водосчетчик 3, датчик температуры 4 и датчик давления 6. Показания всех счетчиков выведены на пульт оператора. В системе здания присутствуют общие водонагрева­тели, насосы, а также регулятор температуры и связанный с ним датчик температуры. Поскольку температура и расход воды непосредственно свя­заны алгоритмом управления, контролировать показания водосчетчиков и датчиков температуры на этаже можно по показаниям общего датчика температуры и расхода воды.

Предположим, что может произойти отказ одного любого из датчи­ков 1, 2, 3 и 4 (чтобы не усложнять пример). Тогда при выявлении непола­док в системе горячего водоснабжения следует выбрать одну из четырех гипотез:

Н₁ – неисправен водосчетчик 1;

Н₂ – неисправен датчик температуры 2;

Н₃ – неисправен водосчетчик 3;

Н₄ – неисправен датчик температуры 4.

Опираться мы будем на следующую систему наблюдений:

Х₁ – совпало ли показание датчика температуры 2 с показаниями об­щего датчика температуры, откорректированного по расходу воды?

Х₂ – совпало ли показание датчика температуры 4 с показаниями об­щего датчика температуры, откорректированного по расходу воды?

Х₃ – совпало ли показание водосчетчика 1 с показаниями общего датчика температуры, откорректированного по расходу воды?

Х₄ – совпало ли показание водосчетчика 2 с показаниями общего датчика температуры, откорректированного по расходу воды?

Х₅ – соответствуют ли показания водосчетчиков общему расходу воды в системе?

Значением наблюдения будет 1, если ответ на соответствующий во­прос утвердительный, и 0, если ответ отрицательный.

Эти 5 чисел (М = 5) и будут выступать как х_i в формуле (4.7). Отно­сительно коэффициентов b_i сложно что-либо сказать на начальном этапе обучения, поэтому их принимают равными нулю.

Напомним алгоритм выработки правил (рис. 4.55).

Проиллюстрируем данный алгоритм обучения на примере.

Пусть неисправен водосчетчик 1 (однако нам пока неизвестно, что имела место именно эта неисправность). Тогда (предположительно, а в процессе обучения реальной системы значения замеров будут известны точно)

Х₁ = 0; Х₂ = 1; Х₃ = 0; Х₄ = 1; Х₅ = 1.

Вычисляем y для каждой гипотезы:

Н₁: y₁ = b₁₁x₁ + b₂₁x₂ + b₃₁x₃ + b₄₁x₄ + b₅₁x₅ = 0;

Н₂: y₂ = b₁₂x₁ + b₂₂x₂ + b₃₂x₃ + b₄₂x₄ + b₅₂x₅ = 0;

Н₃: y₃ = b₁₃x₁ + b₂₃x₂ + b₃₃x₃ + b₄₃x₄ + b₅₃x₅ = 0;

Н₄: y₄ = b₁₄x₁+ b₂₄x₂ + b₃₄x₃ + b₄₄x₄+ b₅₄x₅ = 0.

Рис. 4.55. Алгоритм выработки правил для системы, принимающей решения по макси­мальной вероятности

Так как все y одинаковы, неисправность проклассифицировать нельзя. Поэтому ремонтной бригадой проводятся работы по обнаружению причины неисправности (и естественно, ее устранению). После этого мы узнаем, какая из гипотез оказалась правильной, и можем передать это зна­ние экспертной системе. В соответствии с алгоритмом для той категории, в которую должен был попасть объект (категория Н₁), проводится модифи­кация коэффициентов b:

b₁₁ = b₁₁ + x₁ = 0; b₂₁ = b₂₁ + x₂ = 1;

b₃₁ = b₃₁ + x₃ = 0; b₄₁ = b₄₁ + x₄ = 1;

b₅₁ = b₅₁ + x₅ = 1.

Для тех категорий, в которые объект не должен был попасть, но у ко­торых y_k больше, чем y правильной категории или равен ему (в данном случае, это категории Н₂, Н₃ и Н₄), проводится другая модификация коэф­фициентов b.

Для категории Н₂: b₁₂ = b₁₂ – x₁ = 0; b₂₂ = b₂₂ – x₂ = –1; b₃₂ = b₃₂ – x₃ = 0; b₄₂ = b₄₂ – x₄ = –1; b₅₂ = b₅₂ – x₅ = –1.

Для категории Н₃: b₁₃ = b₁₃ – x₁ = 0; b₂₃ = b₂₃ – x₂ = –1; b₃₃ = b₃₃ – x₃ = 0; b₄₃ = b₄₃ – x₄ = –1; b₅₃ = b₅₃ – x₅ = –1.

Для категории Н₄: b₁₄ = b₁₄ – x₁ = 0; b₂₄ = b₂₄ – x₂ = –1; b₃₄ = b₃₄ – x₃ = 0; b₄₄ = b₄₄ – x₄ = –1; b₅₄ = b₅₄ – x₅ = –1.

Первый шаг закончен.

Возникла очередная неисправность – начался второй шаг обучения.

Снова вычисляем y для каждой гипотезы с новыми коэффициентами. Пусть на этот раз неисправен датчик температуры 2. Тогда результаты на­блюдений будут (предположительно) следующими:

Х₁ = 0; Х₂ = 1; Х₃ = 0; Х₄ = 1; Х₅ = 0.

Для Н₁ y₁ = 0  0 + 1  1 + 0  0 + 1  1 + 1  0 = 2;

Для Н₂ y₂ = 0  0 + (–1)  1 + 0  0 + (–1)  1 + (–1)  0 = –2;

Для Н₃ y₃ = 0  0 + (–1)  1 + 0  0 + (–1)  1 + (–1)  0 = –2;

Для Н₄ y₄ = 0  0 + (–1)  1 + 0  0 + (–1)  1 + (–1)  0 = –2.

Получено максимальное значение y для гипотезы Н₁, а должно быть – для гипотезы Н₂. Объект снова не попал в нужную категорию, и модифи­кацию коэффициентов приходится повторить.

Для категории Н₂: b₁₂ = b₁₂ + x₁ = 0 + 0 = 0; b₂₂ = b₂₂ + x₂ = (–1) + 1 = 0; b₃₂ = b₃₂ + x₃ = 0 + 0 = 0; b₄₂ = b₄₂ + x₄ = (–1) + 1 = 0; b₅₂ = b₅₂ + x₅ = (–1) + 0 = = –1.

Для категории Н₁: b₁₁ = b₁₁– x₁ = 0 – 0 = 0; b₂₁ = b₂₁ – x₂ = 1 – 1 = 0; b₃₁ = = b₃₁ – x₃ = 0 – 0 = 0; b₄₁ = b₄₁ – x₄ = 1 – 1 = 0; b₅₁ = b₅₁ – x₅ = 1 – 0 = 1.

Для категории Н₃: b₁₃ = b₁₃ – x₁ = 0 – 0 = 0; b₂₃ = b₂₃ – x₂ = (–1) –1 = –2; b₃₃ = b₃₃ – x₃ = 0 – 0 = 0; b₄₃ = b₄₃ – x₄ = (–1) – 1 = –2; b₅₃ = b₅₃ – x₅ = (–1) – 0 = = –1.

Для категории Н₄: b₁₄ = b₁₄ – x₁ = 0 – 0 = 0; b₂₄ = b₂₄ – x₂ = (–1) –1 = –2; b₃₄ = b₃₄ – x₃ = 0 – 0 = 0; b₄₄ = b₄₄ – x₄ = (–1) – 1 = –2; b₅₄ = b₅₄ – x₅ = (–1) – 0 = = –1;

Второй шаг окончен.

Теперь сделаем третий шаг. Очередная неисправность снова оказа­лась неисправностью водосчетчика 1. В этом случае, как уже упоминалось,

Х₁ = 0; Х₂ = 1; Х₃ = 0; Х₄ = 1; Х₅ = 1.

Подсчитаем значения y для всех гипотез, используя последние мо­дификации коэффициентов b.

Для Н₁: y₁ = 0  0 + 0  1 + 0  0 + 0  1 + 1  1 = 1;

Для Н₂: y₂ = 0  0 + 0  1 + 0  0 + 0  1 + (–1)  1 = –1;

Для Н₃: y₃ = 0  0 + (–2)  1 + 0  0 + (–2)  1 + (–1)  1 = –5;

Для Н₄: y₄ = 0  0 + (–2)  1 + 0  0 + (–2)  1 + (–1)  1 = –5.

Наибольшее значение y₁ указывает на гипотезу Н₁, что является пра­вильным результатом. Поэтому модификация коэффициентов не прово­дится.

Пусть для нашей экспертной системы заданная вероятность пра­вильного ответа – 0,7 с 90%-м доверительным интервалом. Предположим, что мы провели 100 шагов обучения. Подсчитаем, с какой вероятностью мы можем доверять решениям экспертной системы. Пусть экспертная сис­тема дала правильный ответ в 78 случаях из 100. Тогда p^* = 0,78. Опреде­лим 90%-й доверительный интервал для вероятности правильного ответа экспертной системы. Просчитаем по формулам (4.11), (4.12) (поскольку n = = 100) p₁ и p₂:

p₁ = 0,705; p₂ = 0,840; I_ = (0,705; 0,840).

Таким образом, с вероятностью 0,9 вероятность правильного ответа экспертной системы будет находиться в границах от 0,705 до 0,840. Пусть для нашей экспертной системы заданная вероятность правильного ответа – 0,7. Следовательно, на данном шаге обучение может быть закончено.

Получим нечеткое множество неисправностей для текущего шага ра­боты экспертной системы, где коэффициенты принадлежности определяют вероятность появления данной гипотезы. Фактически, нам надо для каж­дой гипотезы определить ее коэффициент принадлежности:

1. На данном шаге были получены следующие значения: Н₁ = 1; Н₂ = = –1; Н₃ = –5; Н₄ = –5.

2. Складываем полученные значения с Н_min. Получаем следующие коэффициенты: Н₁ = 6; Н₂ = 4; Н₃ = 0; Н₄ = 0.

3. Затем делим эти коэффициенты на их общую сумму. В данном случае .

Следовательно, получим вероятности появления каждой гипотезы на текущем шаге, т.е. коэффициенты принадлежности каждой гипотезы к множеству возможных неисправностей АСУ ТП:

p₁ = 0,6; p₂ = 0,4; p₃ = 0; p₄ = 0.

Тогда нечеткое множество гипотез о возможных неисправностях АСУ ТП для диагностики системы будет выглядеть следующим образом:

N = {(Н₁/0,6), (Н₂/0,4), (Н₃/0), (Н₄/0)},

т.е. гипотеза Н₁ имеет место с вероятностью 0,6; гипотеза Н₂ – с вероятно­стью 0,4; гипотеза Н₃ – с вероятностью 0; гипотеза Н₄ также с вероятно­стью 0.