Распределение Вейбулла

Основными параметрами распределения Вейбулла являются ₀ – масштаб кривой по оси абсцисс и  – острота и асимметрия распределе­ния. Обычно берут 1  2 (см. рис. 2.3).

Рис. 2.3. Примерный вид основных показателей надежности

при усеченном нормальном распределении

,,

. (2.20)

При  = 1 распределение Вейбулла переходит в экспоненциальное. Примерный вид соответствующих кривых дан на рис. 2.4.

Сзаконом Вейбулла хорошо согласуется время безотказной работы качественных полупроводниковых приборов.

а б в

Рис. 2.4. Примерный вид основных показателей надежности при распределении Вей­булла

Пример 2.4. Пусть ₀ = 0,05,  = 1,5. Определить Р(10), Q(10), (10), P(100), Q(100), (100). По (2.20):

P(10) =

Q(10) = 1 – 0,702 = 0,298,

(10) = 1,5  0,05  10^0,5 = 0,237,

P(100) =

Q(100) = 0,9999861,

(100) = 1,5  0,05  100^0,5 = 0,75.

Гамма-распределение

Гамма-распределение имеет те же параметры, что и распределение Вейбулла – ₀ и . Форма кривых Р(t), f(t) и (t) также аналогична форме кривых при распределении Вейбулла:

(2.21)

где Г() – гамма-функция, для которой имеются соответствующие значе­ния. Однако гамма-распределение чаще всего описывает распределение времени безотказной работы резервированных изделий, при этом параметр  равен суммарному качеству объектов, поэтому чаще всего  – целое число. При целом 

Г() = ( – 1). (2.22)

Тогда

(2.23)

(2.24)

При  = 1 гамма-распределение переходит в экспоненциальное, а при больших  – в нормальное.

Практическая область применения законов распределения времени безотказной работы

Семейство экспоненциальных распределений наиболее известно и чаще всего используется. Оно имеет множество полезных математических свойств, но его применение ограничено по следующей причине: можно до­казать, что если устройство имеет экспоненциальное распределение вре­мени до отказа, то предварительное использование устройства никак не влияет на остаточное время его жизни. Другими словами, если устройство еще не отказало к моменту времени t, то распределение его времени безот­казной работы будет таким же, как если бы в этот момент времени начало использоваться совершенно новое устройство.

Ясно, что это свойство экспоненциального распределения не позво­ляет использовать это распределение для описания устройств, которые в процессе нормальной эксплуатации подвергаются воздействиям, влияю­щим на длительность их последующей безотказной работы. Замечатель­ным исключением из этого правила являются сложные системы, элементы которых восстанавливаются в процессе функционирования.

Определенные радиоэлектронные элементы, такие как, например, предохранители, имеют экспоненциальное распределение времени работы до отказа. Впрочем, отмечается, что те же элементы при условии жесткого контроля процесса производства и условий испытаний имеют распределе­ние отказов нормального типа. Однако большинство распределений, встречающихся в практических приложениях, обычно не являются нор­мальными, поскольку они заметно несимметричны, тогда как нормальное распределение симметрично.

Гамма-распределение является несимметричным, и поэтому, может быть, естественнее использовать его, а не нормальное распределение.

Распределение Вейбулла является хорошей аппроксимацией функ­ции интенсивности отказов. Оно может быть применимо для описания ус­талостных отказов и ряда других отказов. Возможно, для получения точ­ных оценок это одно из наиболее популярных распределений времени без­отказной работы.

В настоящем учебном пособии для количественной оценки показате­лей надежности восстанавливаемых и невосстанавливаемых используется простейший поток отказов и экспоненциальное время жизни элементов и блоков систем.