1.3.1. Надежность систем при основном (последовательном) и параллельном соединении элементов

Сложные системы и объекты состоят из множества соединенных между собой элементов. В зависимости от характера влияния надежности элементов на надежность системы или объекта различают два типа соеди­нений элементов: основное (последовательное) и параллельное.

Под основным соединением понимают такое, при котором отказ лю­бого элемента приводит к отказу системы в целом. Основное соединение имеет место в тех случаях, когда в системе все элементы функционально необходимы (т.е. отсутствуют избыточные элементы).

Под параллельным соединением элементов понимают такое, при кото­ром отказ системы наступает только при отказе всех его составных элементов (т.е. не наступает, если работоспособен хотя бы один элемент).

1.3.2. Основное соединение элементов

Пусть система, надежность которой исследуется, состоит из N эле­ментов, имеющих следующие характеристики надежности:

Соответствующие характеристики системы обозначим P(t), Q(t).

В случае основного соединения справедливы следующие зависимо­сти:

(1.17)

(1.18)

1.3.3. Параллельное соединение элементов

Поскольку к отказу системы при параллельном соединении элемен­тов приводит отказ только всех ее элементов, очевидно, что

, (1.19)

(1.20)

Более подробно расчет надежностных характеристик систем при ос­новном и параллельном соединении элементов будет рассмотрен в сле­дующих главах.

1.4. Элементы теории нечетких множеств

Введение элементов теории нечетких множеств в данное учебное по­собие связано с тем, что иногда невозможно заранее получить точные на­дежностные характеристики элементов и блоков разрабатываемой сис­темы. В таких условиях приходится брать несколько надежностных харак­теристик одного элемента, ранжируя их по степени достоверности, и про­водить оптимизацию структуры системы, исходя из определенных крите­риев [3]. Такой подход изложен, в частности, в подразд. 2.5.

1.4.1. Понятие принадлежности и основные операции­ для четких подмножеств

Рассмотрим понятие принадлежности сначала на примере четких множеств.

Пусть Е – множество, А – подмножество Е. Имеется также характе­ристическая функция _А(х), которую в упрощенном варианте будем счи­тать вероятностью того, принадлежит ли элемент x подмножеству А:

(1.21)

т.е. вероятность для четких множеств принимает только значения 0 и 1 (принадлежит либо не принадлежит).

Предположим, что множество Есостоит из нескольких элементов:

Е = { x₁, x₂, x₃, x₄, x₅}, (1.22)

а подмножество А – из некоторых элементов множества Е:

А = {x₂, x₃, x₅}. (1.23)

Тогда подмножество А можно записать через элементы множества Е и значения функции _А(х) (принадлежности элемента подмножеству А).

Пример 1.1. Запишем конкретные значения подмножества А:

А = {(х₁,0), (x₂,1), (x₃,1), (х₄,0), (x₅,1)}. (1.24)

Это означает: элемент x₁ принадлежит подмножеству А с вероятно­стью _А(х₁) = 0, т.е. не принадлежит подмножеству А, в то время как эле­мент x₂ принадлежит подмножеству А с _А(х₂) = 1, т.е. принадлежит под­множе­ству А.

Для четких множеств определены несколько операций. Наиболее часто употребляются:

– дополнение

Ā ≡ {x E ||x A},

, , (1.25)

или, если записать эти соотношения через характеристическую функцию принадлежности,

; (1.26)

– пересечение АВ или, если определить эту операцию через функ­цию принадлежности,

(1.27)

,

где «» – логическое умножение;

– объединение АВ или, если определить эту операцию через функ­цию принадлежности:

(1.28)

,

где «+» – логическое сложение.

Пример 1.2. Рассмотрим вышеприведенные операции на примере. Пусть имеются множество Е (1.22) и два его подмножества: А (которое уже было рассмотрено в предыдущем примере) и В:

А = {(х₁,0), (х₂,1), (х₃,1), (х₄,0), (х₅,1)} , (1.29)

B = {(х₁,1), (х₂,0), (х₃,1), (х₄,0), (х₅,1)}. (1.30)

Тогда операция пересечения будет выглядеть следующим образом:

АВ = {(х₁,0  1), (х₂,1 0), (х₃,1  1), (х₄,0  0), (х₅,1  1)}. (1.31)

Операция объединения соответственно будет записана так:

АВ = {(х₁,0 +1), (х₂,1+ 0), (х₃,1+1), (х₄,0 + 0), (х₅,1+1)}. (1.32)

Знаки умножения и сложения соответствуют логическому И и логиче­скому ИЛИ.