2.2.5. Резервирование замещением в случае нагруженного резерва

Пусть все k резервных элементов составляют нагруженный резерв. В этом случае

(2.60)

где – ненадежность i-го резервного элемента.

Тогда формула (2.59) примет вид:

(2.61)

Применяя k раз найденное рекуррентное соотношение

(2.62)

получаем ту же формулу, что и в случае нагруженного резерва с постоян­ным включением резервных элементов в работу (подразд. 2.2.3):

(2.63)

Этот результат очевиден, так как случаи нагруженного резервирова­ния с постоянным включением и замещением в смысле надежности не от­личаются друг от друга. Действительно, в обоих случаях расход надежно­сти всех резервных элементов начинается с момента включения системы в работу и протекает одинаково интенсивно. Для экспоненциального закона распределения

. (2.64)

2.2.6. Резервирование замещением в случае облегченного резерва

Пусть все k резервных элементов составляют облегченный резерв. В этом случае, как и при нагруженном резерве, отказ резервного элемента может наступить и до его включения в работу. Поэтому введенную выше вероятность безотказной работы k-го резервного элемента здесь можно представить так:

(2.65)

где – надежностьk-го резервного элемента в облегченном ре­жиме, т.е. в резерве, а – надежность этого жеk-го резерв­ного элемента в рабочем режиме при условии, что до включения в работу он, будучи в резерве, не откажет к моменту .

Учитывая это выражение, основные рекуррентные формулы (2.58) и (2.59) перепишем так:

(2.66)

(2.67)

Рассмотрим практически важный частный случай, когда все эле­менты k-кратно резервированной группы (см. рис. 2.19) с облегченным ре­зервированием подчинены экспоненциальному закону надежности. Пусть

(2.68)

Тогда из формулы (2.66) последовательно найдем:

1) при k = 1

; (2.69)

2) при k = 2

(2.70)

Проведя подобные вычисления для k = 3, 4, …, находим закономер­ность изменения P_k(t), согласно которой

. (2.71)

Пользуясь этой формулой, можно найти и все другие количествен­ные характеристики надежности рассматриваемой резервированной группы.

2.2.7. Резервирование замещением в случае ненагруженного резерва

Пусть все k резервных элементов составляют ненагруженный резерв. В этом случае естественно считать, что резервный элемент не может отка­зать до его включения в работу. Поэтому введенные в подразд. 4.5 веро­ят­ности издесь будут:

и , (2.72)

где р_k и q_k – надежность и ненадежность k-го резервного элемента в рабо­чем режиме. Учитывая это, основные рекуррентные формулы (2.58) и (2.59) запишем так:

(2.73)

(2.74)

Но пользоваться формулами (2.73), (2.74) неудобно, так как для вы­числения по этим формулам надежности и ненадежностиk-кратно резервированной группы надо уже знать плотность распределе­ния времени безотказной работы (k-1)-кратно резервированной группы. Однако формулы (2.73), (2.74) можно упростить.

Обозначая ,и применяя к интегралу фор­мулу интегрирования по частям, получаем:

(2.75)

где учитываем, что P_k(0) = 1, Q_k–1(0) = 0.

Аналогично можно преобразовать и формулу (2.74). Тогда ради уп­рощения, допуская, что все элементы в рассматриваемой резервированной группе равнонадежны, окончательно получаем:

(2.76)

(2.77)

где p(t), q(t), f(t) = – – количественные характеристики надежности, общие для всех элементов этой группы. Зная эти характеристики и приме­няя последовательно k раз рекуррентные формулы (2.76) и (2.77), получаем надежность P_k(t) и ненадежность Q_k(t) рассматриваемой резервированной группы в случае, когда ее элементы равнонадежны.

Рассмотрим практически важный частный случай, когда все эле­менты k-кратно резервированной группы (см. рис. 2.19) с ненагруженным резервированием подчинены одному и тому же экспоненциальному закону надежности: .

Тогда, учитывая равенство и применяя формулу (2.76), последовательно находят:

1) при k = 1

; (2.78)

2) при k = 2

(2.79)

3) при k = 3

(2.80)

И в случае любого k получаем:

(2.81)

Пользуясь этой формулой, можно найти и все другие количествен­ные характеристики надежности рассматриваемой резервированной группы.

Ненагруженное резервирование замещением обеспечивает большую надежность, чем нагруженное резервирование. Это очевидно, так как во втором случае в отличие от первого расход надежности резерва начинается сразу же после включения системы в работу.

Резервирование замещением наряду с нагруженным резервом позво­ляет также использовать облегченный и ненагруженный резервы. В этом состоит его преимущество перед резервированием с постоянным включе­нием резерва, которое позволяет использовать только нагруженный резерв.