2.5.1. Выбор оптимального варианта для невосстанавливаемых систем
Для невосстанавливаемых систем основной характеристикой надежности является среднее время наработки на отказ Т или интенсивность отказов , при этом обе характеристики связаны соотношением (2.16).
В качестве основной надежностной характеристики при формировании исходного нечеткого множества выберем интенсивность отказов , так как чем выше интенсивность отказов, тем выше уверенность в том, что реальная интенсивность отказов не превысит заданную. Тогда нечеткое множество интенсивности отказов для заданного блока будет выглядеть следующим образом:
= {(1 |1), (2 |2), …, (n |n)}, (2.127)
где 1, 2, …, n – значение интенсивности отказов; 1,2, …, n – вероятность того, что реальная интенсивность отказов не превысит заданную.
Пример 2.15. При определении интенсивности отказов для заданного блока проектировщик получил следующее множество:
i = {(1,35 10–6|0,8), (2,80 10–6|0,9), (4,60 10–6|0,95)},
что означает: интенсивность отказа блока не превысит 1,35 10–6 со степенью уверенности 0,8, не превысит 2,80 10–6 со степенью уверенности 0,9 и не превысит 4,60 10–6 со степенью уверенности 0,95.
Совокупность интенсивностей отказов для всех блоков образует массив .
В случае если проектировщику известна точная интенсивность отказов блока, нечеткое множество переходит в детерминированную характеристику блока системы и вместо правой ветви алгоритма проектировщик пойдет по левой.
Первый блок алгоритма – определение интенсивности отказов блоков системы – был проанализирован выше. Рассмотрим левую ветвь алгоритма – выбор составляющих блоков системы по известным надежностным характеристикам возможных вариантов блоков, заданных детерминировано.
При построении системы имеется возможность выбора между однотипными блоками с различными надежностными характеристиками и различной стоимостью. Сначала рассмотрим пример выбора структуры системы с детерминированно заданными характеристиками.
Пример 2.16. Пусть в вычислительной системе используется центральный процессор и блок ОЗУ (см. рис. 2.25). Выбирать можно между двумя типами процессора, причем интенсивность отказов первого типа процессора 152 10–6, стоимость его 60 у.е., а интенсивность отказов второго типа процессора 250 10–6, стоимость 40 у.е. Для ОЗУ также имеется выбор из двух типов, интенсивность отказов первого типа ОЗУ 64 10–6, стоимость его 10 у.е., а интенсивность отказов второго типа процессора 80 10–6, стоимость 8 у.е. Выбрать наименьший по стоимости вариант построения системы с интенсивностью отказов не выше 300 10–6 .
На первом этапе проводится полный перебор вариантов построения системы. Возможно 4 варианта построения системы:
1) процессор – тип 1; ОЗУ – тип 1;
2) процессор – тип 1; ОЗУ – тип 2;
3) процессор – тип 2; ОЗУ – тип 1;
4) процессор – тип 2; ОЗУ – тип 2.
Просчитаем интенсивность отказов по каждому из четырех вариантов в соответствии с методикой, приведенной в подразд. 2.1.5 (формула (2.26)):
1) 1 = 1 152 10–6 + 1 64 10–6 = 216 10–6,
2) 2 = 1 152 10–6 + 1 80 10–6 = 232 10–6,
3) 3 = 1 250 10–6 + 1 64 10–6 = 314 10–6,
4) 4 = 1 250 10–6 + 1 80 10–6 = 330 10–6.
Запишем интенсивности отказов и стоимости всех четырех вариантов:
1) 1 = 216 10–6, С = 70 у.е.;
2) 2 = 232 10–6, С = 68 у.е.;
3) 3 = 314 10–6, С = 50 у.е;
4) 4 = 330 10–6, С = 48 у.е.
По надежности нас устраивают первый и второй варианты, по стоимости предпочтительным является второй вариант, как более дешевый.
Рассмотрим правую часть алгоритма, показанного рис. 2.50: расчет надежности системы по надежностным характеристикам составляющих ее блоков, заданных в форме нечеткого множества.
Пример 2.17. Рассмотрим систему из примера 2.16. Пусть интенсивность отказов двух вариантов центрального процессора и ОЗУ задана в форме нечеткого множества:
п1 = (140 10–6|0,8; 152 10–6|0,85; 160 10–6|0,9),
п2 = (240 10–6|0,7; 250 10–6|0,85; 270 10–6|0,9),
ОЗУ1 = (60 10–6|0,8; 64 10–6|0,9; 70 10–6|0,95),
ОЗУ2 = (75 10–6|0,85; 80 10–6|0,9; 90 10–6|0,95),
где п1, п2, ОЗУ1 и ОЗУ2 образуют в совокупности массив .
Массив формируем следующим образом. Выписываем все значения вероятности задания исходных данных, входящие в данный массив. Одинаковые значения объединяем, оставшиеся выстраиваем по возрастанию. Получим пять значений:
1) 1 = 0,7; 2) 2 = 0,8; 3) 3 = 0,85; 4) 4 = 0,9; 5) 5 = 0,95.
Произведем разложение массива на четкие подмножества-уровня, руководствуясь следующим правилом:
(2.128)
где – фиксированное значение вероятности из набора значений массива. При этом для каждого значениярассматриваются все возможные варианты построения системы.
Для каждого из пяти вариантов построения системы значения интенсивности отказов берутся по вышеуказанному алгоритму. Рассмотрим подробнее построение четких подмножеств для значения = 0,7. Для первого варианта (процессор типа 1, ОЗУ типа 1) в качестве интенсивности отказов процессора берется значение п1 = 14010–6, имеющее = 0,8, поскольку это ближайшая большая вероятность в ряду значений интенсивности отказов для процессора типа 1. Для ОЗУ типа 1 берется ОЗУ1 = 6010–6, по той же самой причине и т.д.
В соответствии с этим алгоритмом четких множеств для = 0,95 построить не удается, поскольку не для все типов процессора и ОЗУ есть надежностные характеристики с вероятностью, большей или равной 0,95.
Таким образом, четкие множества строятся для четырех значений вероятности:
1) 1 = 0,7; 2) 2 = 0,8; 3) 3 = 0,85; 4) 4 = 0,9.
В результате разбиений массива получаем:
1) 1 = 0,7: п1 = 140 10–6; ОЗУ1 = 60 10–6;
2) п1 = 140 10–6; ОЗУ2 = 75 10–6;
3) п2 = 240 10–6; ОЗУ1 = 60 10–6;
4) п2 = 240 10–6; ОЗУ2 = 75 10–6;
5) 2 = 0,8: п1 = 140 10–6; ОЗУ1 = 60 10–6;
6) п1 = 140 10–6; ОЗУ2 = 75 10–6;
7) п2 = 250 10–6; ОЗУ1 = 60 10–6;
8) п2 = 250 10–6; ОЗУ2 = 75 10–6;
9) 3 = 0,85: п1 = 152 10–6; ОЗУ1 = 64 10–6;
10) п1 = 152 10–6; ОЗУ2 = 80 10–6;
11) п2 = 250 10–6; ОЗУ1 = 64 10–6;
12) п2 = 250 10–6; ОЗУ2 = 80 10–6;
13) 4 = 0,9: п1 = 160 10–6; ОЗУ1 = 64 10–6.
14) п1 = 160 10–6; ОЗУ2 = 80 10–6;
15) п2 = 270 10–6; ОЗУ1 = 64 10–6;
16) п2 = 270 10–6; ОЗУ2 = 80 10–6.
Далее проводим расчет надежности системы по каждому из полученных шестнадцати вариантов исходных данных. Расчет надежности ведем в соответствии с методикой, изложенной в подразд. 2.1.5 (формула (2.26)).
Для шестнадцати вариантов проводим расчет надежности системы. Дополним полученные данные значениями стоимости С для каждого варианта:
1) = 0,7; = 200 10–6; С = 70 у.е.;
2) = 0,7; = 215 10–6; С = 68 у.е.;
3) = 0,7; = 300 10–6; С = 50 у.е.;
4) = 0,7; = 315 10–6; С = 48 у.е.;
5) = 0,8; = 200 10–6; С = 70 у.е.;
6) = 0,8; = 215 10–6; С = 68 у.е.;
7) = 0,8; = 310 10–6; С = 50 у.е.;
8) = 0,8; = 325 10–6; С = 48 у.е.;
9) = 0,85; = 216 10–6; С = 70 у.е.;
10) = 0,85; = 232 10–6; С = 68 у.е.;
11) = 0,85; = 314 10–6; С = 50 у.е.;
12) = 0,85; = 330 10–6; С = 48 у.е.;
13) = 0,9; = 224 10–6; С = 70 у.е.;
14) = 0,9; = 240 10–6; С = 68 у.е.;
15) = 0,9; = 334 10–6; С = 50 у.е.;
16) = 0,9; = 350 10–6; С = 48 у.е.
Из полученных результатов видно, что четвертые варианты построения системы не обеспечивают заданную надежность ни при одном значении . Следовательно, их можно исключить из рассмотрения для уменьшения размерности задачи (это строки 4, 8, 12 и 16). Поэтому в дальнейшем мы будем работать с минимизированной таблицей, состоящей из следующих двенадцати вариантов:
1) = 0,7; = 200 10–6; С = 70 у.е.;
2) = 0,7; = 215 10–6; С = 68 у.е.;
3) = 0,7; = 300 10–6; С = 50 у.е.;
4) = 0,8; = 200 10–6; С = 70 у.е.;
5) = 0,8; = 215 10–6; С = 68 у.е.;
6) = 0,8; = 310 10–6; С = 50 у.е.;
7) = 0,85; = 216 10–6; С = 70 у.е.;
8) = 0,85; = 232 10–6; С = 68 у.е.;
9) = 0,85; = 314 10–6; С = 50 у.е.;
10) = 0,9; = 224 10–6; С = 70 у.е.;
11) = 0,9; = 240 10–6; С = 68 у.е.;
12) = 0,9; = 334 10–6; С = 50 у.е.
Определив интенсивность отказов всех вариантов построения системы, их стоимость и вероятность осуществления каждого варианта, можно провести оптимизацию выбора варианта построения системы. Оптимизацию будем проводить в два этапа. На первом этапе воспользуемся методом наименьших потерь [2].
Введем в рассмотрение эталонное решение Э, которое характеризуется минимальным значением интенсивности отказов Э и минимальным значением стоимости системы СЭ (при этом минимальное значение интенсивности отказов Э должно быть меньше заданного техническими условиями для проектируемой системы).
Для данных из нашего примера эталонное решение будет характеризоваться следующими значениями: Э = 20010–6; СЭ = 50 у.е., где в качестве значения для интенсивности отказов и стоимости взяты минимальные значения из вышеприведенных.
Первое соотношение
будет характеризовать проигрыш в
интенсивности отказов данного
вариантаRi
по отношению
к эталонному:
. (2.129)
Второе соотношение
будет
характеризовать проигрыш в стоимости
данного вариантаRi
по отношению к эталонному:
. (2.130)
Проигрыш решения Ri по сравнению с эталонным (i) оценивается:
или
. (2.131)
Очевидно, что все значения потерь будут отрицательными, так как эталонный вариант является наилучшим из всех возможных. Поскольку нас интересует не знак, а абсолютная величина потерь, знак «минус» в дальнейших расчетах будет отброшен и все значения потерь будут рассматриваться по абсолютной величине.
Рассчитаем проигрыш по сравнению с эталонным вариантом для всех решений. Для первых двух вариантов расчет i покажем подробно, а для остальных просто запишем результаты:
1)
= 0,7;
= 200
10–6;
С = 70 у.е.;
,
;
i = |(1 – 1,0) + (1 – 1,47)| = 0,47;
2)
= 0,7;
= 21510–6;
С = 68 у.е.;
,
;
i
=| (1 – 1,075) + (1 –
1,417)| = 0,49;
3) = 0,7; = 300 10–6; С = 50 у.е.; i = 0,54;
4) = 0,8; = 200 10–6; С = 70 у.е.; i = 0,47;
5) = 0,8; = 215 10–6; С = 68 у.е.; i = 0,54;
6) = 0,8; = 310 10–6; С = 50 у.е.; i = 0,61;
7) = 0,85; = 216 10–6; С = 70 у.е.; i = 0,57;
8) = 0,85; = 232 10–6; С = 68 у.е.; i = 0,565;
9) = 0,85; = 314 10–6; С = 50 у.е.; i = 0,73;
10) = 0,9; = 228 10–6; С = 70 у.е.; i = 0,62;
11) = 0,9; = 240 10–6; С = 68 у.е.; i = 0,61;
12) = 0,9; = 334 10–6; С = 50 у.е.; i = 0,78.
Рассчитав потери на первом этапе для каждого варианта построения системы, определяем затем потери по сравнению с эталонным вариантом для каждого значения вероятности.
Из полученного списка вариантов видно, что для первых вариантов построения системы (процессор типа 1 и ОЗУ типа 1) потери для всех четырех вероятностей будут иметь следующие значения:
= 0,7; i = 0,47;
= 0,8; i = 0,47;
= 0,85; i = 0,57;
= 0,9; i = 0,62.
На втором этапе рассчитывается усредненное значение потерь для каждого варианта по следующей формуле:
, (2.132)
где n – количество значений вероятности, на которые был разбит исходный массив . В качестве оптимального принимается вариант с минимальным значением потерь:
(2.133)
Просчитаем значения усредненной вероятности по формуле (2.132) для трех вариантов построения системы и значений вероятности, приведенных в примере 2.17.
Для варианта 1
= 0,7 0,47 + 0,8 0,47 + 0,85 0,57 + 0,9 0,62 = 1,7475.
Для варианта 2
= 0,7 0,49 + 0,8 0,49 + 0,85 0,565 + 0,9 0,61 = 1,764.
Для варианта 3
= 0,7 0,54 + 0,8 0,61 + 0,85 0,73 + 0,9 0,78 = 2,189.
В результате данного расчета в качестве оптимального следует принять первый вариант построения системы – процессор типа 1 и ОЗУ типа 1, имеющий минимальные потери по сравнению с эталонным вариантом.
В данном разделе был рассмотрен алгоритм выбора невосстанавливаемой системы, оптимальной по стоимости при надежности не хуже заданной, в условиях нечетко заданных исходных данных. Как было показано, задание исходных данных в виде нечеткого множества позволяет более точно отразить реальность. Расчеты по предложенному алгоритму (см. рис. 2.50) показывают, что оптимальный вариант, выбранный по идеализированным (детерминированно заданным) исходным данным, может отличаться от оптимального варианта, выбранного по более реальным данным, представленным в виде нечеткого множества.