2.5.2. Выбор оптимального варианта для восстанавливаемых систем

Как было указано выше (подразд. 1.1.5), характеристики восстанав­ливае­мых систем отличаются от характеристик невосстанавливаемых сис­тем. Для установившегося режима работы восстанавливаемой системы (а именно этот режим рассматривается в настоящем пособии, см. подразд. 2.3.1.) имеют место пары: интенсивность отказов /среднее время между отка­зами Т_о и интенсивность потока восстановлений /среднее время вос­ста­новления Т_в.

При формировании исходного нечеткого множества будем зада­ваться интенсивностью отказов _о и средним временем восстановления Т_в (величина, обратно пропорциональная интенсивности восстановлений _в), так как чем выше значение интенсивности отказов и среднего времени восстановления, тем выше уверенность в том, что реальные поток отказов и среднее время восстановления не превысят заданные.

Пример 2.18. При определении потока отказов и среднего времени восстановления для заданного блока проектировщик получил следующее множество:

_{о i} = {(1,35  10^–6|0,8), (2,80  10^–6|0,9), (4,60  10^–6|0,95)},

Т_{в i} = {(2,4|0,7), (2,8|0,8), (3,5|0,9)},

что означает: интенсивность отказа блока не превысит 1,3510^–6 со степе­нью уверенности 0,8, не превысит 2,80 10^–6 со степенью уверенности 0,9 и не превысит 4,60 10^–6 со степенью уверенности 0,95. Аналогично читается и время восстановления.

Совокупность потоков отказов и времени восстановления для всех блоков образует массив .

В случае если проектировщику известны точные данные об интен­сивности потока отказов и времени восстановления блока, нечеткое мно­жество переходит в детерминированную характеристику блока системы.

Таким образом, в зависимости от того, являются ли исходные дан­ные для расчета вероятностными или детерминированными, будут приме­няться разные способы расчета. Алгоритм же выбора оптимального вари­анта в целом изменяться не будет.

Первый блок алгоритма – определение интенсивности отказов бло­ков системы – был проанализирован выше. Рассмотрим левую ветвь алго­ритма – выбор составляющих блоков системы по известным надежност­ным характеристикам возможных вариантов сочетания блоков, заданных детерминированно.

При построении системы имеется возможность выбора между одно­типными блоками с различными надежностными характеристиками и раз­личной стоимостью. Перебор всех возможных вариантов построения сис­темы и составляет суть блока 3.

Пример 2.19. Пусть в вычислительной системе используется цен­тральный процессор и блок ОЗУ. Выбирать можно между двумя типами процессора, причем поток отказов первого типа процессора 152×10^–6, стоимость его 60 у.е., а поток отказов второго типа процессора 250×10^–6, стоимость 40 у.е. Время восстановления для обоих типов процессора оди­наково и равно 1 ч. Для ОЗУ также имеется выбор из двух типов, причем поток отказов первого типа ОЗУ 64×10^–6, стоимость его 10 у.е., а поток отказов второго типа процессора 80×10^–6, стоимость 8 у.е. Время восста­новления для обоих типов ОЗУ также одинаково и равно 0,5 ч.

Ставится следующая оптимизационная задача: выбрать наименьший по стоимости вариант построения системы с коэффициентом готовности не ниже 0,97.

На первом этапе проводится полный перебор вариантов построения системы. Возможны 4 варианта построения системы (блок 3):

1) процессор – тип 1; ОЗУ – тип 1;

2) процессор – тип 1; ОЗУ – тип 2;

3) процессор – тип 2; ОЗУ – тип 1;

4) процессор – тип 2; ОЗУ – тип 2.

Исследование надежности восстанавливаемых объектов (блок 4) про­водится по методике, описанной в подразд. 2.3.2.

Для приведенных исходных данных просчитаем коэффициент готов­ности в соответствии с системой (2.108) по каждому из четырех вариантов:

1) K_г = 0,98;

2) K_г = 0,975;

3) K_г = 0,95;

4) K_г = 0,945.

Далее среди вариантов, устраивающих нас с точки зрения надежно­сти, выбираем вариант, наименьший по стоимости (блок 5). Запишем ко­эффициенты готовности и стоимости двух устраивающих по надежности вариантов:

1) K_г = 0,98 , С = 70 у.е.;

2) K_г = 0,975, С = 68 у.е.

С точки зрения стоимости предпочтительным является второй вари­ант, как более дешевый.

Рассмотрим правую часть алгоритма – расчет надежности системы по надежностным характеристикам составляющих ее блоков, заданных в форме нечеткого множества. Сначала вернемся к блоку 1 алгоритма рас­чета – определению вероятностных характеристик блоков системы.

Пример 2.20. Рассмотрим систему из примера 2.19. Пусть поток от­казов и среднее время восстановления двух вариантов центрального про­цессора и ОЗУ заданы в форме нечетких множеств:

l_п1 = (140 × 10^–6|0,8; 152 × 10^–6|0,85; 160 × 10^–6|0,9),

Т_{в п1} = (1,5|0,7; 2,0|0,8; 2,5|0,9),

l_п2 = (240 × 10^–6|0,7; 250 × 10^–6|0,85; 270 × 10^–6|0,9),

Т_{в п2} = (1,5|0,7; 2,0|0,8; 2,5|0,9),

l_ОЗУ1 = (60 × 10^–6|0,8; 64 × 10^–6|0,9; 70 × 10^–6|0,95),

Т_{в ОЗУ1} = (0,5|0,7; 1,0|0,8; 2,0|0,9),

l_ОЗУ2 = (75 × 10^–6|0,85; 80 × 10^–6|0,9; 90 × 10^–6|0,95),

Т_{в ОЗУ2} = (0,5|0,7; 1,0|0,8; 2,0|0,9),

где l_п1 , Т_{в п1}, l_п2 , Т_{в п2} , l_ОЗУ1, Т_{в ОЗУ1}, l_ОЗУ2 и Т_{в ОЗУ2} образуют в совокупности массив L. Массив L формируем следующим образом. Выписываем все значения вероятности, входящие в данный массив, одинаковые значения объединяем, оставшиеся выстраиваем по возрастанию. Получаем пять зна­чений:

1) b₁ = 0,7; 2) b₂ = 0,8; 3) b₃ = 0,85; 4) b₄ = 0,9; 5) b₅ = 0,95.

Произведем разложение массива L на четкие подмножества b-уровня (блок 6), руководствуясь вышеописанным правилом (2.128):

При этом для каждого значения b рассматриваются все возможные варианты построения системы.

Для каждого значения вероятности по каждому варианту построения системы значения потока отказов и времени восстановления берутся по вышеуказанному алгоритму. Рассмотрим подробнее построение четких подмножеств для значения b = 0,7. Для первого варианта (процессор типа 1, ОЗУ типа 1) в качестве потока отказов процессора берется значение l_п1 = 140 × 10^–6, имеющее b = 0,8, поскольку это ближайшая большая веро­ятность в ряду значений потока отказов для процессора типа 1. Для ОЗУ типа 1 берется l_ОЗУ1 = 60 × 10^–6, по той же самой причине. Среднее время восстановления для процессора берется равным 1,5, для ОЗУ – 0,5; оба эти значения имеют b = 0,7.

В соответствии с этим алгоритмом разбиения четких множеств для b = 0,95 построить не удается, поскольку не для всех типов процессора имеются надежностные характеристики с вероятностью, большей или рав­ной 0,95.

Таким образом, четкие множества строятся для четырех значений вероятности:

1) b₁ = 0,7; 2) b₂ = 0,8; 3) b₃ = 0,85; 4) b₄ = 0,9.

В результате разбиений массива L получаем:

1) b₁ = 0,7: l_п1 = 140 × 10^–6; l_ОЗУ1 = 60 × 10^–6;

Т_{в п1} = 1,5; Т_{в ОЗУ1} = 0,5;

2) l_п1 = 140 × 10^–6; l_ОЗУ2 = 75 × 10^–6;

Т_{в п1} = 1,5; Т_{в ОЗУ2} = 0,5;

3) l_п2 = 240 × 0^–6; l_ОЗУ1 = 60 × 10^–6;

Т_{в п2} = 1,5; Т_{в ОЗУ1} = 0,5;

4) l_п2 = 240 × 10^–6; l_ОЗУ2 = 75 × 10^–6;

Т_{в п2} = 1,5; Т_{в ОЗУ2} = 0,5;

5) b₂ = 0,8: l_п1 = 140 × 10^–6; l_ОЗУ1 = 60 × 10^–6;

Т_{в п1} = 2,0; Т_{в ОЗУ1} = 1,0;

6) l_п1 = 140 × 10^–6; l_ОЗУ2 = 75 × 10^–6;

Т_{в п1} = 2,0; Т_{в ОЗУ2} = 1,0;

7) l_п2 = 250 × 10^–6; l_ОЗУ1 = 60 × 10^–6;

Т_{в п2} = 2,0; Т_{в ОЗУ1} = 1,0;

8) l_п2 = 250 × 10^–6; l_ОЗУ2 = 75 × 10^–6;

Т_{в п2} = 2,0; Т_{в ОЗУ2} = 1,0;

9) b₃ = 0,85: l_п1 = 152 10^–6; l_ОЗУ1 = 64 × 10^–6;

Т_{в п1} = 2,5; Т_{в ОЗУ1} = 1,5;

10) l_п1 = 152 × 10^–6; l_ОЗУ2 = 80 × 10^–6;

Т_{в п1} = 2,5; Т_{в ОЗУ2} = 1,5;

11) l_п2 = 250 × 10^–6; l_ОЗУ1 = 64 × 10^–6;

Т_{В П2} = 2,5; Т_{В ОЗУ1} = 1,5;

12) l_п2 = 250 × 10^–6; l_ОЗУ2 = 80 × 10^–6;

Т_{в п2} = 2,5; Т_{в ОЗУ2} = 1,5;

13) b₄ = 0,9: l_п1 = 160 × 10^–6; l_ОЗУ1 = 64 × 10^–6;

Т_{в п1} = 2,5; Т_{в ОЗУ1} = 1,5;

14) l_п1 = 160 × 10^–6; l_ОЗУ2 = 80 × 10^–6;

Т_{в п1} = 2,5; Т_{в ОЗУ2} = 1,5;

15) l_п2 = 270 × 10^–6; l_ОЗУ1 = 64 × 10^–6;

Т_{в п2} = 2,5; Т_{в ОЗУ1} = 1,5;

16) l_п2 = 270 × 10^–6; l_ОЗУ2 = 80 × 10^–6;

Т_{в п2} = 2,5; Т_{в ОЗУ2} = 1,5.

Далее проводим расчет надежности системы по каждому из полу­ченных шестнадцати вариантов исходных данных (блок 7). Расчет надеж­ности ведется в соответствии с методикой расчета надежности восстанав­ливаемых систем, изложенной при рассмотрении детерминированного за­дания исходных данных в примере 2.19.

Для шестнадцати представленных вариантов проводим расчет коэф­фициента готовности системы. Дополним полученные данные значениями стоимости для каждого варианта:

1) b = 0,7; K_г = 0,99; С = 70 у.е.,

2) b = 0,7; K_г = 0,98; С = 68 у.е.,

3) b = 0,7; K_г = 0,96; С = 50 у.е.,

4) b = 0,7; K_г = 0,95; С = 48 у.е.,

5) b = 0,8; K_г = 0,99; С = 70 у.е.,

6) b = 0,8; K_г = 0,98; С = 68 у.е.,

7) b = 0,8; K_г = 0,96; С = 50 у.е.,

8) b = 0,8; K_г = 0,95; С = 48 у.е.,

9) b = 0,85; K_г = 0,98; С = 70 у.е.,

10) b = 0,85; K_г = 0,97; С = 68 у.е.,

11) b = 0,85; K_г = 0,95; С = 50 у.е.,

12) b = 0,85; K_г = 0,94; С = 48 у.е.,

13) b = 0,9; K_г = 0,97; С = 70 у.е.,

14) b = 0,9; K_г = 0,96; С = 68 у.е.,

15) b = 0,9; K_г = 0,90; С = 50 у.е.,

16) b = 0,9; K_г = 0,88; С = 48 у.е.

С целью уменьшения размерности задачи проведем минимизацию этих данных: вычеркнем варианты построения системы, для которых при всех вероятностях исходных данных коэффициент готовности получается меньше заданного. В данном случае это варианты 3 и 4. В результате оста­ется восемь вариантов:

1) b = 0,7; K_г = 0,99; С = 70 у.е.,

2) b = 0,7; K_г = 0,98; С = 68 у.е.,

3) b = 0,8; K_г = 0,99; С = 70 у.е.,

4) b = 0,8; K_г = 0,98; С = 68 у.е.,

5) b = 0,85; K_г = 0,98; С = 70 у.е.,

6) b = 0,85; K_г = 0,97; С = 68 у.е.,

7) b = 0,9; K_г = 0,97; С = 70 у.е.,

8) b = 0,9; K_г = 0,96; С = 68 у.е.

Строка номер восемь остается в системе, поскольку она соответст­вует второму варианту построения системы, который для других значений b дает коэффициент готовности не хуже 0,97.

Определив интенсивность отказов данного варианта построения сис­темы, его стоимость и вероятность осуществления такого варианта, можно провести оптимизацию выбора варианта построения системы. Оптимиза­цию будем проводить в два этапа. На первом этапе (блок 8) снова восполь­зуемся методом наименьших потерь [2].

Как и выше, введем в рассмотрение эталонное решение Э, которое характеризуется максимальным значением коэффициента готовности K_{г э} и минимальным значением стоимости системы С_э.

Для вариантов нашего примера эталонное решение будет характеризо­ваться следующими значениями: K_э = 0,99; С_э= 48 у.е.

Первая характеристика будет характеризовать проигрыш по коэф­фициенту готовности данного вариантаR_i по отношению к эталон­ному (2.86), вторая характеристика будет характеризовать проигрыш по стоимости данного вариантаR_i по отношению к эталонному (2.130).

Проигрыш решения R_i по сравнению с эталонным – D_i – оценивается опять же по соотношению (2.131):

Рассчитаем проигрыш по сравнению с эталонным вариантом для всех решений. Для первых двух вариантов расчет D_i покажем подробно, а для остальных просто запишем результаты:

1) b = 0,7; K_г = 0,99; С = 70 у.е.,

; ,

D_i = |(1 – 1,0) + (1 – 1,47)| = 0,47;

2) b = 0,7; K_г = 0,98; С = 68 у.е.,

; ,

D_i =|(1 – 0,99) + (1 – 1,417)| = 0,407;

3) b = 0,8; K_г = 0,99; С = 70 у.е.; D_i = 0,47;

4) b = 0,8; K_г = 0,99; С = 68 у.е.; D_i = 0,54;

5) b = 0,85; K_г = 0,99; С = 70 у.е.; D_i = 0,57;

6) b = 0,85; K_г = 0,99; С = 68 у.е.; D_i = 0,565;

7) b = 0,9; K_г = 0,99; С = 70 у.е.; D_i = 0,62;

8) b = 0,9; K_г = 0,99; С = 68 у.е.; D_i = 0,61.

Рассчитав потери на первом этапе для каждого варианта построения системы, можно определить потери по сравнению с эталонным вариантом для каждого значения вероятности.

Из сравнения полученных восьми вариантов видно, что в первом вари­анте построения системы (процессор типа 1 и ОЗУ типа 1) потери для всех четырех вероятностей будут иметь следующие значения:

b = 0,7; D_i = 0,47;

b = 0,8; D_i = 0,47;

b = 0,85; D_i = 0,57;

b = 0,9; D_i = 0,62.

На втором этапе (блок 9) рассчитывается усредненное значение по­терь для каждого варианта по формуле (2.132).

В качестве оптимального принимается вариант с минимальным по абсолютной величине значением потерь (2.133):

Просчитаем значения усредненной вероятности для вариантов по­строения системы и значений вероятности.

Для варианта 1

D = 0,7 × (0,47) + 0,8 × (0,47) + 0,8 × (0,57) + 0,9 × (0,62) = 1,7475.

Для варианта 2

D = 0,7 × (0,407) + 0,8 × (0,54) + 0,85 × (0,565) + 0,9 × (0,61) = 1,763.

В результате данного расчета в качестве оптимального следует при­нять первый вариант построения системы – процессор типа 1 и ОЗУ типа 1, поскольку усредненные потери для варианта 1 оказываются меньше ус­редненных потерь для варианта 2.

Таким образом, из приведенного анализа и сравнения примеров видно, что детерминированный подход к решению сформулированной выше задачи и подход к расчету на основе представления данных в виде нечеткого множества дают разные результаты.

Проанализировав методику расчета надежности для простейших не­восстанавливаемых и восстанавливаемых систем, можно сделать следую­щие выводы.

Традиционное детерминированное задание исходных данных явля­ется идеализированным и не позволяет учесть при проектировании сис­темы специфику возможного изменения надежностных характеристик от­дельных блоков. Задание исходных данных в форме нечеткого множества представляется более приближенным к реальным условиям расчета надеж­ности и выбору оптимального по критерию надежность/стоимость вари­анта проектируемой системы.

Методика расчета надежности для систем с различной надежностной конфигурацией при точном (детерминированном) задании исходных дан­ных принципиально не изменяется при переходе к заданию исходных дан­ных в форме нечеткого множества. Нами показано, что существенные из­менения претерпевают блоки общего алгоритма выбора оптимального ва­рианта построения системы, связанные с определением надежностных ха­рактеристик модулей в составе системы, при задании их исходных данных в форме нечеткого множества. В частности, изменяется исходный этап оп­ределения надежностных характеристик отдельных блоков (блок 1, см. рис. 2.46), когда приходится выбирать, какие конкретно характеристики являются наиболее подходящими для представления в форме нечеткого множества, как это показано при рассмотрении соответствующих блоков общего алгоритма для невосстанавливаемых и восстанавливаемых систем (соответственно примеры 2.16 и 2.17 и примеры 2.19 и 2.20).