1.4.2. Понятие принадлежности и основные операции для нечетких подмножеств

Рассматривать понятие принадлежности для нечетких подмножеств начнем с примера. Обратимся к выражению (1.24). В нем, как было отме­чено, функция принадлежности  принимает только значения 1 и 0. Пред­ставим теперь, что  может принимать любое значения из интервала (0,1). Тогда степени принадлежности элемента x_i к нечеткому подмножеству А могут быть записаны следующим образом:

– x_i не принадлежит к А, _А(x_i) = 0;

– x_i в небольшой степени принадлежит к А, _А(x_i) близко к 0;

– x_i более или менее принадлежит к А, _А(x_i) равноудалена от 0 и 1;

…

– x_i принадлежит к А, _А(x_i) = 1.

Тогда А = {(x₁|0,2), (x₂|0), (x₃|0,3), (x₄|1), (x₅|0,8)} будет представлять собой нечеткое подмножество множества Е. Будем записывать A  E или A  E.

Принадлежность элемента к нечеткому подмножеству можно обо­значить следующим образом: x₁ A, x₂ A, x₄ A. Эти обозначения могут быть истолкованы следующим образом:

– x₂ не принадлежит к А (_А(x₂) = 0));

– x₁ в небольшой степени принадлежит к А (_А(x₁) = 0,2));

– x₄ принадлежит к А (_А(x₄) = 1)).

Возвращаясь к обозначениям теории множеств, можно говорить, что

 – эквивалентно ,  – эквивалентно .

Определение: Пусть Е – множество, счетное или нет, и х – элемент Е. Тогда нечетким подмножеством А множества Е называется множество упорядоченных пар {(x|_A(x))} x  E, где _A(x) – характеристическая функция принадлежности, которая принимает свои значения во вполне упорядоченном множестве М и указывает вероятность принадлежности элемента х подмножеству А. Множество М будем называть множеством принадлежностей.

Если М = {0,1}, то нечеткое подмножество А переходит в «обычное» четкое подмножество.

Приведем несколько примеров.

Пример 1.3. Запишем нечеткое подмножество чисел х, приблизи­тельно равных данному действительному числу n, где n  R (R – множе­ство действительных чисел) :

А = {…(n – 1|0,8), (n – 0,5|0,9), (n|1), (n + 0,5|0,9), (n + 1|0,8)…}.

Пример 1.4. Пусть N – множество натуральных чисел,

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…}.

Рассмотрим нечеткое подмножество «небольших» натуральных чи­сел:

А = {(0|1), (1|0.8), (2|0,6), (3|0,4), (4|0,2), (5|0), (6|0)…}.

Разумеется, _A(x) в этих примерах задается субъективно. Последнее выражение можно переписать в виде

0 A, 1 A, 2 A, 3 A,… .

1.4.3. Отношение доминирования

Рассмотрим два упорядоченных набора из n чисел:  = (k₁, k₂, k₃,…, k_n) и  = (k₁, k₂, k₃, … k_n), в которых k_i и k_i принадлежит к одному и тому же вполне упорядоченному множеству K. Отношение порядка на K будем обозначать через знак .

Будем говорить, что  доминирует над , и записывать

   (1.33)

только тогда, когда

k₁  k₁, k₂  k₂, k₃  k₃, … k_n  k_n.

При этом знак  обозначает нестрогий порядок, а знак > – строгий порядок. Так, если записано

 > , (1.34)

то это говорит об отношении строгого доминирования.

Пример 1.5. Пусть заданы 3 упорядоченных набора:

u = (7, 3, 1, 5),

v = (2, 2, 0, 4),

w = (3, 4, 1, 4).

Очевидно, что u  v, так как 7 > 2, 3 > 2, 1 > 0, 5 > 4. Также u > v, по­скольку каждый из v_i меньше u_i. Однако u и w несравнимы.

С технической точки зрения очень часто наибольший интерес пред­ставляет последний случай, когда из двух или нескольких вариантов по­строения системы ни один не имеет явных преимуществ [4]. В такой си­туации пользуются дополнительными критериями, позволяющими про­вести обоснованный выбор, как это будет показано в подразд. 2.5.