1.4.4. Простейшие операции над нечеткими множествами
Включение:
пусть Е
– множество, М
– множество принадлежностей, А
и В
– два нечетких подмножества множества
Е.
Будем говорить, что А
содержится
в В,
если
B(x)
A(x),
и обозначать эту операцию А В.
Пример 1.6. Пусть Е = {x1, x2, x3, x4}, 0 ≤ M ≤ 1,
А = {(x1|0,4), (x2|0,2), (x3|0), (x4|1)},
B = {(x1|0,3), (x2|0), (x3|0), (x4|0)}.
В соответствии с определением В А.
Равенство:
пусть Е
– множество, М
– множество принадлежностей, А
и В
– два нечетких подмножества множества
Е.
Будем говорить, что А
и В
равны тогда и только тогда, когда
B(x)
= A(x).
Пример 1.7. Пусть Е = {x1, x2, x3, x4}, 0 ≤ M ≤ 1,
А = {(x1|0,4), (x2|0,2), (x3|0), (x4|1)},
B = {(x1|0,4), (x2|0,2), (x3|0), (x4|1)}.
В соответствии с определением В = А.
Дополнение:
пусть Е
– множество, М
– множество принадлежностей, А
и В
– два нечетких подмножества множества
Е.
Скажем, что А
и В
дополняют друг друга, если
B(x)
= 1 – A(x).
Пример 1.8. Пусть Е = {x1, x2, x3, x4}, 0 ≤ M ≤ 1,
А = {(x1|0,4), (x2|0,2), (x3|0), (x4|1)},
B = {(x1|0,6), (x2|0,8), (x3|1), (x4|0)}.
В соответствии с
определением В
=
илиА
=
.
Пересечение: пусть Е – множество, М – множество принадлежностей, А и В – два нечетких подмножества множества Е. Пересечение А В определяют как наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в А и В:
АВ(x)
= min(A(x),
(В(x)).
(1.35)
Пример 1.9. Пусть Е = {x1, x2, x3, x4, x5}, 0 ≤ M ≤ 1,
А = {(x1|0,2), (x2|0,7), (x3|1), (x4|0) ), (x5|0,5)},
B = {(x1|0,5), (x2|0,3), (x3|1), (x4|0,1), (x5|0,5)}.
Тогда А В = {(x1|0,2), (x2|0,3), (x3|1), (x4|0), (x5|0,5)}.
На основе (1.35) можно
записать
А
и
В
=> =>
А
В.
Это позволяет ввести понятие «нечеткое
и» – И.
Пример 1.10. Если А – нечеткое подмножество действительных чисел, очень близких к 5, и В – нечеткое подмножество действительных чисел, очень близких к 10,
А = {(9|0,2), (6|0,8), (5|1), (10|0,1) ), (7,5|0,5)},
B = {(9|0,8), (6|0,2), (5|0,1), (10|1), (7,5|0,5)},
то А В – нечеткое подмножество действительных числе, очень близких к 5 И 10.
Тогда А В = {(9|0,2), (6|0,2), (5|0,1), (10|0,1), (7,5|0,5)}.
Эту операцию можно проиллюстрировать на рис. 1.3, где А В – заштрихованная взаимопересекающаяся часть двух окружностей вокруг точек 5 и 10.
Р
ис.
1.3. Графическая иллюстрация
операции пересечения двух нечетких множеств
Объединение: пусть Е – множество, М – множество принадлежностей, А и В – два нечетких подмножества множества Е. Объединение А В определяют как наименьшее нечеткое подмножество, которое содержит как А, так и В:
А
В(x)
= max(A(x),
(В(x)).
(1.36)
Пример 1.11. Пусть Е = {x1, x2, x3, x4, x5}, 0 ≤ M ≤ 1,
А = {(x1|0,2), (x2|0,7), (x3|1), (x4|0), (x5|0,5)},
B = {(x1|0,5), (x2|0,3), (x3|1), (x4|0,1), (x5|0,5)},
тогда А В = {(x1|0,5), (x2|0,7), (x3|1), (x4|0,1), (x5|0,5)}.
На основе (1.36) можно
записать
А
или
В
=>
А
В.
Это позволяет ввести понятие «нечеткое
или» – ИЛИ.
Пример 1.12. Если А – нечеткое подмножество действительных чисел, очень близких к 5, В – нечеткое подмножество действительных чисел, очень близких к 10,
А = {(9|0,2), (6|0,8), (5|1), (10|0,1) ), (7,5|0,5)},
B = {(9|0,8), (6|0,2), (5|0,1), (10|1), (7,5|0,5)},
то А В – нечеткое подмножество действительных числе, очень близких к 5 ИЛИ 10. Тогда А В = {(9|0,8), (6|0,8), (5|1), (10|1), (7,5|0,5)}.