Комплексные характеристики надежности систем с восстанов­лением

Потоки отказов и восстановлений описывают процесс функциониро­вания объекта с двух сторон независимо друг от друга. Для связи потока вводятся комплексные показатели, в качестве которых используются обычно коэффициент готовности и коэффициент оперативной готов­ности.

Коэффициент готовности – это вероятность застать объект исправ­ным в произвольно выбранный момент времени t. Для простейших пото­ков

. (2.97)

Коэффициент оперативной готовности – это вероятность того, что объект, будучи исправным в момент t, проработает безотказно в течение времени . вычисляют как произведение вероятности застать объ­ект исправным в моментна вероятность безотказной работыв течение оставшегося интервала времени:

. (2.98)

Если время безотказной работы имеет экспоненциальное распреде­ление и , то:

. (2.99)

Если , товычисляется с помощью общей фор­мулы:

. (2.100)

2.3.2. Расчет надежности по графу работоспособности объекта

Исследование надежности восстанавливаемых объектов требует привлечения аппарата случайных процессов, описывающих процессы пе­рехода изделия из одного состояния в другое в случайные моменты вре­мени. Эти данные расчета отличаются от расчетов надежности невосста­навливаемых объектов, где достаточно теории случайных событий и вели­чин.

Ниже рассматриваются по этапам наиболее иллюстрированный ме­тод расчета надежности, основанный на составлении графа переходов из­делия в различные состояния работоспособности.

На первом этапе составляется граф работоспособности объекта. Для этого определяются все состояния работоспособности с учетом блоков системы и устанавливаются интенсивности переходов по данным состоя­ниям. Например, для системы с восстановлением из двух блоков (рис. 2.21), один из которых резервный, могут быть выделены следующие со­стояния:

1. Блок 1 и блок 2 исправны (система полностью исправна).

2. Блок 1 отказал, блок 2 исправен.

3. Блок 2 отказал, блок 1 исправен.

4. Отказ блока 1 и блока 2 (отказ системы).

Вероятность нахождения системы в i-м выделенном состоянии обо­значается Р_i. Вероятность перехода из i состояния в j – Р_ij. Например, Р₁₂ – вероятность отказа первого блока, Р₂₁ – вероятность восстановления пер­вого блока и т.д.

Граф работоспособности системы (см. рис. 2.21), построенный с уче­том введенных обозначений, представлен на рис. 2.22.

Рис. 2.21. Структура системы Рис. 2.22. Граф работоспособности системы

с параллельным соединением

Граф переходов по состояниям можно представить также матрицей переходов, используемой в дальнейшем для автоматизации расчетов:

.

Как видно из определений, граф переходов аналогичен марковской цепи [2].

Вероятности вследствие ординарности потока равны нулю.

Система уравнений, определяющая вероятности состояний, имеет следующий вид:

(2.101)

Уравнения системы, например первое, читается следующим образом: вероятность того, что система во время t + t будет находиться в первом состоянии, равна произведению вероятности того, что система в момент времени t находилась в первом состоянии, и вероятности отсутствия пере­хода во второе и третье состояние, плюс вероятности того, что система на­ходилась во втором или третьем состоянии в момент t, умноженные на ве­роятности перехода из этих состояний в первое за промежуток t.

Если t достаточно мало, то , где– интенсивность пе­рехода изi-го состояния в j-е состояние.

Система, записанная в функциях интенсивностей, имеет следую­щий вид:

(2.102)

Перенос везде влево и деление уравнений наt приводит к полу­чению в левой части:

(2.103)

При условии t  0 получаем:

(2.104)

В окончательном виде система описывается следующими дифферен­циальными уравнениями:

(2.105)

При расчетах надежности систему уравнений составляют по графу работоспособности сразу в виде (2.105), минуя рассмотренные поясни­тельные этапы. Существует следующее правило составления системы. В левой части каждого уравнения записывается . В правой части урав­нения содержится столько членов, сколько стрелок связано (входит и выходит) с данным состоянием. Каждый член равен произведению интен­сивности потока, переводящего систему по данной стрелке, умноженной на вероятность того состояния, откуда стрелка исходит. Если стрелка вхо­дит в описываемое состояние, то произведению присваивается знак «+», если исходит, то знак «–».

Приведенное правило позволяет после получения графа работоспо­собности изделия составить систему дифференциальных уравнений, опи­сывающих функционирование объекта.

На втором этапе в соответствии с приведенным правилом по графу работоспособности изделия составить систему дифференциальных уравне­ний, описывающих функционирование объекта.

На третьем этапе решаются уравнения системы и находятся искомые вероятности пребывания объекта в состояниях его работоспособности. Очевидно, что в рассматриваемом примере коэффициент готовности равен вероятности застать ответ в одном из трех работоспособных состояний:

(2.106)

Решение системы может быть выполнено известными способами. В дальнейшем используется способ, основанный на преобразованиях Лап­ласа, переводящих систему дифференциальных уравнений в систему ал­гебраических уравнений:

(2.107)

Из системы алгебраических уравнений находятся вероятности пре­бывания системы в состояниях . С помощью обратных преобразовате­лей Лапласа полученные вероятностиприводят к иско­мому виду.

В случаях когда вероятности состояний являются постоянными, что характерно для установившегося режима работы, достигаемого в практике сравнительно быстро при существующих соотношениях и, сис­тема уравнений (2.105) становится системой алгебраических уравнений, так как в этом случае= 0.

(2.108)

Добавление последнего уравнения является обязательным и необхо­димым для закрытия системы, поскольку ни одно из предыдущих уравне­ний не учитывает начальных условий.

Решение системы (2.108) позволяет определить установившийся ко­эффициент готовности. Рассмотрим порядок расчета на более конкретном примере.

Пример 2.6. Пусть необходимо оп­ределить надежность изделия, не имею­щего резервирования, с заданными интен­сивностями переходов – па­раметров по­тока отказов  = const и интенсивностью восстановления . Работоспособность сис­темы описывается графом (рис. 2.23): состояние 1 – состояние работоспособности, состояние 2 – состояние от­каза.

Описание графа по приведенному правилу дает следующую систему уравнений вида (2.107):

Учитывая, что в момент включения t = 0 система должна быть ис­правна (), получаем:

Отсюда

(2.109)

Обратное преобразование вероятности требует приведения ее к табличному виду. Для этого умножим и разделимна ( + ):

Отсюда, учитывая, что 1/Z соответствует 1(t), а соответст­вует, получаем:

(2.110)

Анализом полученного выражения устанавливаем, что приt не может быть ниже величины . Эта постоянная часть и явля­ется стационарным коэффициентом готовности изделия:

(2.111)

Постоянная времени экспоненты . Переходный про­цесс длится 34 Т_пэ, после чего наступает установившийся режим.

Пример 2.7. Пусть  = 10^–2 1/ч, а  = 1 1/ч. Тогда

ч.

Следовательно, переходный процесс длится 34 ч, а далее надеж­ность системы определяется стационарным коэффициентом готовности:

На рис. 2.24 приведен график зависимости коэффициента готовности от времени.

Рис. 2.24. График зависимости коэффициента готовности от времени