2.3.3. Определение среднего времени наработки на отказ системы с восстановлением

Время наработки на отказ (подразд. 2.1.1) определяется как

.

В то же время преобразование Лапласа определяется следующей формулой [2]:

(2.112)

т.е. при Z = 0 Т = P(Z).

Рассмотрим систему из двух восстанавливаемых блоков, один из ко­торых основной, а другой – резервный. Перепишем систему уравнений (2.107), заменяя на, с учетом того, что состояние 4 – состояние от­каза. В результате, а также исчезает строка, соответствую­щая,

(2.113)

Среднее время наработки на отказ всей системы , так как 1, 2, 3 – состояния работоспособности.

Пример 2.8. Пусть

Тогда

Решив систему, получаем:

Среднее время наработки на отказ

ч.

2.3.4. Расчет надежности систем с восстановлением при основном (по­следовательном) и параллельном соединении элементов

Рассмотрим методику, приведенную в подразд. 2.3.2, для различных видов соединения элементов. Возьмем систему, состоящую из двух образ­цов оборудования, соединенных последовательно так, что отказ любого из них приводит к отказу всей системы (рис. 2.25). Для простоты предполо­жим, что каждый образец имеет одинаковую интенсивность отказов  и интен­сивность ремонтов .

Предположим, что у нас имеется один ремонтник. Составим граф переходов системы (рис. 2.26).

Рис. 2.25. Структура системы Рис. 2.26. Граф работоспособности системы

с последовательным соединением

Обозначим:

0 – состояние системы, в котором оба образца исправны;

1 – состояние системы, когда один образец исправен, а другой ре­монтируется;

2 – состояние системы, когда оба образца неисправны, один ремон­тируется.

Из состояния 0 система может перейти в состояние 1 с интенсивно­стью отказов 2. Из состояния 1 система может перейти в состояние 0 с интенсивностью восстановления  и в состояние 2 с интенсивностью отка­зов . Из состояния 2 система может перейти в состояние 1 с интенсивно­стью восстановления .

Запишем по графу переходов систему дифференциальных уравне­ний:

(2.114)

Будем искать решение только для установившегося значения. Тогда система дифференциальных уравнений перейдет в систему линейных уравнений:

(2.115)

Отсюда коэффициент готовности

(2.116)

Пример 2.9. Пусть  = 10² 1/ч,  = 1 1/ч. Определить коэффициент готовности:

В общем случае, если у нас имеется n образцов оборудования и один ремонтник, справедлива формула:

. (2.117)

В качестве другого крайнего случая рассмотрим систему, когда ко­личество ремонтников равно количеству образцов оборудования. Пусть на оба образца имеется два ремонтника. Составим граф перехода системы (рис. 2.27):

0 – состояние системы, в котором оба образца исправны;

1 – состояние системы, когда один образец исправен, а другой ре­монтируется;

2 – оба образца неисправны и ремонтируются.

Рис. 2.27. Граф переходов системы

Запишем по графу переходов систему уравнений для установивше­гося значения:

Решая систему, получим:

(2.118)

Пример 2.10. Пусть  = 10^–2 1/ч,  = 1 1/ч. Определить коэффициент готовности:

В общем случае, если у нас имеется n образцов оборудования и n ре­монтников,

(2.119)

т.е. коэффициент готовности системы находится как произведение коэф­фициентов готовности каждого образца. Это и следовало ожидать, так как для каждого образца имеется свой ремонтник и K_г каждого образца не за­висит от K_г остальных.

Рассмотрим систему из двух образцов оборудования, соединенных параллельно (рис. 2.28). Как уже указывалось, в этом случае отказ системы наступает только при отказе всех элементов системы.

Предположим, что у нас имеется один ремонтник, который сразу на­чинает ремонтировать отказавший элемент.

Составим граф переходов системы (рис. 2.29):

0 – состояние системы, в котором оба образца исправны;

1 – состояние системы, когда один образец исправен, а другой ре­монтируется;

2 – оба образца неисправны, один ремонтируется.

Рис. 2.28. Структура системы Рис. 2.29. Граф переходов системы

с параллельным соединением

Запишем по графу переходов систему уравнений для установивше­гося значения:

Решив систему, получим:

Коэффициент готовности

(2.120)

Пример 2.11. Пусть  = 10^–2 1/ч,  = 1 1/ч. Определить коэффициент готовности:

Имеется довольно многочисленный класс систем, в которых обслу­живание невозможно начать до наступления полного отказа системы. Это может произойти, если контролируется только выход из строя всей сис­темы, а не отдельных образцов оборудования. Допустим, у нас имеется 2 образца оборудования, соединенных параллельно. После того как откажет вся система, два ремонтника начинают ремонтировать каждый свой эле­мент.

Составим граф переходов системы (рис. 2.30):

0 – состояние системы, в котором оба образца исправны;

1 – состояние системы, когда один образец исправен, а другой неис­правен, но не ремонтируется;

2 – состояние системы, когда оба образца неисправны и ремонтиру­ются.

Рис. 2.30. Граф переходов системы

Запишем по графу переходов систему уравнений для установивше­гося значения:

Решив систему, получим:

Коэффициент готовности:

(2.121)

Пример 2.12. Пусть  = 10^–2 1/ч,  = 1 1/ч. Определить коэффициент готовности:

В данном разделе мы рассмотрели несколько вариантов расчета ста­ционарного коэффициента готовности для систем с последовательным и параллельным соединением однотипных элементов. В случае параллель­ного соединения однотипных элементов коэффициент готовности при тех же параметрах потока отказов и восстановлений значительно выше, так как параллельное соединение одинаковых элементов означает наличие ре­зер­вирования.

Однако примеры были выбраны минимальной размерности. Для ре­альных систем количество блоков будет значительно большим, параметры потока отказов и восстановлений – различными. Все это приводит к тому, что размерность графа переходов системы, как правило, оказывается чрез­мерно большой для практических расчетов. В этих случаях граф можно сократить, отбросив состояния, вероятность пребывания в которых пре­небрежимо мало. Технология сокращения графа переходов системы про­иллюстрирована ниже на двух реальных примерах расчета надежности сложной телекоммуникационной системы.