Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Операторы преобразования для краевых задач, интегральных представлений и восстановления зависимостей
.pdf
Если f0s,fjs∈ H
существует единственное решение ˆu
β−1/2
(R1) ,β ≥ 1, то у каждой из указанных задач
2
, ˆujs∈ H
0s
β
2
R
2
[11], и тогда фор-
+
мулу для решения основной краевой задачи можно привести к виду:
2
n
j=1
Pjs[ˆujs] .
s=1
u = P
[ˆu0]+
0
151
Глава 13
Неоднородные краевые задачи
для m- гармонических функций
в кусочно-однородном
пространстве
13.1 Задача Штурма- Лиувилля для
итерированного оператора Фурье в I
.
n
Рассмотрим задачу Штурма- Лиувилля о конструкции ограниченного на
множестве I
нетривиального решения сепаратной системы линейных
n
обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
d
2
a
k
dx
+ λ
m
2
yk=0;ak> 0,k =1, ..., n +1, (13.1)
2
2
по условиям контакта в точках сопряжения интервалов
k
[yk]=Γ
Γ
j1
здесь Γ
становочные с оператором
Пусть функции α
k
[y
] ,x= lk,k=1, ..., n; j =1, ..., 2m;(13.2)
k+1
j2
k
k
, Γ
(j =1, ..., 2m; k =1, ..., n) - некоторые операторы, пере-
j1
j2
k
j1
= α
d
.
dx
√
k
j1
p,α
k
j2
= α
√
k
pопределены условия-
j2
ми:
152
k
qkx
Γ
[e
ij
]=α
k
qkx
· e
,qk= a
ij
−1
k
и пусть выполнены условия
√
p, i,j =1, ..., 2m; k =1, ..., n,
det M
kj
=det
√
k
pα
α
1j
√
k
pα
α
2j
√
k
−
p
1j
√
k
−
2j
=0,Rep>σ
p
> 0
0
k =1, ..., n, j =1, 2.
Обозначим
√
x,
ϕ
0,s
p= x
s =1, ..., m; q
s−1eq0·x·i
= a
n+1
−1
n+1
; ψ
n+1,s
·√p.
x,
√
p= x
s−1e−q
n+1
·x·i
,
Рекуррентными соотношениями
k
(ϕ
Γ
k+1,s
j1
k
Γ
(ψ
k,s
j1
)= Γ
k
(ψ
k+1,s
j2
определим остальные n пар вектор- функций (ϕ
Заметим, что функции (ϕ
ke,ψke
k
)= Γ
(ϕ
) ,
k,s
j2
) ,k=1, ..., n, j =1, ..., m
) ,k=1, ..., n.
ks,ψks
) ,k=1, ..., n определены корректно
ввиду условия (13.3). Примем обозначения
=(ϕk1, ..., ϕkm) ,ψk=(ψk1, ..., ψkm) ,
ϕ
k
k
Γ
ij
k
Γ
ij
(ξ,√p)=
Ω
k
√
ϕ
x,
p= ϕ
k
√
ψ
x,
p= ψ
k
⎛
⎜
⎝
√
k
x,
ij
k
ij
k
ϕ
11
.
.
.
k
ϕ
1m
p;
√
x,
p,
⎞
k
ψ
11
⎟
.
.
.
⎠
.
k
ψ
1m
Всюду ниже потребуем выполнения условий неограниченной разрешимости задачи:
(13.3)
=0,k=1, ..., n; Rep ≥ σ0> 0(13.4)
det Ω
k
Теорема 13.1 Спектр задачи (13.1)-(13.3) непрерывен и заполняет всю
числовую ось (−∞, ∞) . В качестве собственной функции, соответствующей собственному значению λ, можно взять функцию:
u (x, λ)=
+θ (x − l
n
) u
n+1
n
k=1
(x, λ) .
θ (x − l
) θ (lk− x) uk(x, λ)+θ (l0− x) u0(x, λ)+
k−1
153
13.2 Итерированное уравнение Лапласа в R
2
.
n
В силу условий неограниченной разрешимости задачи можно вести функ-
∗
ции влияния H
по формулам:
k,s
при k<s
∗
= ϕ
H
k,s
<x<lk,l
l
k−1
√
p
s−1
E0
<ξ<ls,
x,
k
Ω
−1
s
√
ξ,
p,
при k>s
H
∗
= −ψ
k,s
<x<lk,l
l
k−1
x,
k
√
p·
s−1
0E
<ξ<ls,
Ω
−1
s
√
ξ,
p,
при k = s
⎧
H
∗
k,s
√
√
E0
p
0E
p·
⎨
=
⎪
⎪
⎩
<x<ξ<lk,
l
k−1
−ψ
x,
k
<ξ<x<lk;
l
k−1
x,
ϕ
⎪
k
⎪
Ω
−1
k
√
ξ,
p,
−1
Ω
(ξ) ,
s
здесь через 0, E обозначены - нулевая и единичная матрицы размера
∗
m ×m, соответственно. Функции влияния H
позволяют найти решение
j,s
сепаратной системы линейных дифференциальных уравнений
d
dx
− q
m
2
k
zk=0,q
k
2
−2
= a
· p, k =1, ..., n +1, (13.5)
k
2
2
по условиям контакта в точках сопряжения интервалов
k
Γ
j1
[zk] − Γ
k
[z
]=gjk,x= lk,k=1, ..., n, j =1, ..., 2m (13.6)
k+1
j2
Непосредственная проверка показывает, что решение задачи (13.5)(13.6) имеет вид:
n
s=0
∗
H
(√p, x, ls) gs,
j,s
z
j
(x)=
где
154
⎛
⎜
gs=
⎝
Рассмотрим задачу о конструкции ограниченного на множестве I
g
g
s1
.
.
.
s,2m
⎞
⎟
⎠
.
×
n
(−∞, ∞) , решения сепаратной системы итерированных уравнений Ла-
пласа с постоянными коэффициентами
2
∂
2
a
k
2
∂x
по условиям неоднородного контакта на линиях сопряжения x = l
m
2
∂
+
∂y
uk=0,k=1, ..., n +1, (13.7)
2
k
:
k
Γ
j1
[uk] − Γ
k
[u
]=fjk(y) ,x= lk,k=1, ..., n, j =1, ..., 2m. (13.8)
k+1
j2
В образах Фурье по переменной y задача (13.7)-(13.8) принимает вид:
найти решение сепаратной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
2
− σ
m
2
˜uk=0,k=1, ..., n +1, (13.9)
2
d
2
a
k
dx
по условиям неоднородного контакта в точках сопряжения интервалов
k
Γ
j1
[˜uk] − Γ
k
[˜u
]=˜fjk, (σ) ,x = lk,k=1, ..., n, j =1, ..., 2m.
k+1
j2
(13.10)
Решение задачи (13.9)-(13.10) имеет структуру:
n
s=1
∗
H
(|σ|,x,ls)˜fs(σ) , (13.11)
j,s
(x, σ)=
˜u
j
где
˜
f
s
(σ)=
⎛
⎜
⎝
f
f
˜
s,2m
⎞
˜
s1
⎟
.
.
.
⎠
.
155
Возвращаясь к оригиналам Фурье, получим формулу для решений
задачи (13.7)-(13.8) в виде
n
∞
⎞
⎟
⎠
H
(x, |η − y|,ls) fs(η) dη,
j,s
−∞
s=1
,
∗
j,s
√
1
2π
∞
−∞
iσ|η−y|H∗
e
(|σ|,x,ls) dσ.
j,s
(x, y)=
u
j
где
f
s
H
H
⎛
f
s1
⎜
.
⎝
f
.
.
s,2m
(y)=
- обратное преобразование Фурье функции влияния H
j,s
(x, |η − y|,ls)=
j,s
Перенося контур интегрирования на действительную отрицательную
λdλ,
j,s
:
полуось преобразуем выражение для функций H
H
(x, |η − y|,ls)=
j,s
где
(x, λ)=vj(x, λ)
v
js
2
π
E0
∞
0
vjs(x, λ) e
−1
Ω
(ls,λ) .
s
−λ|η−y|
В итоге, формулу для решения основной задачи (13.7)-(13.8) представимввиде:
, т.е.
∞
−λ|η−y|
e
−∞
fs(η) dηλdλ. (13.12)
(x, y)=
u
j
n
∞
2
π
s=1
vjs(x, λ)
0
13.3 Краевые задачи и операторы преобра-
зования в R
Если fjs∈ H
полуплоскости R
существует единственное решение ˆu
по формуле Пуассона. В результате формулу (13.12) можно переписать
в виде:
β−1/2
(R1) ,β≥ 1, то у каждой из задач Дирихле для правой
2
2
:
+
Δˆu
=0, 0 <x, −∞ <y<∞,
js
|
ˆu
= fjs(y) , −∞ <y<∞,s =1, ..., n; j =1, ..., 2m,
js
x=l
s
2
.
n
β
2
R
∈ H
js
2
, которое находится
+
156
uk(x, y)=
n
∞
2
π
s=1
vk(x, λ)
0
E0
−1
Ω
(ls,λ)
s
∞
sinλξ ˆus(ξ,y) dξλdλ.
0
Таким образом, можно определить серию операторов преобразования:
:ˆujs→ ujs,j =1, ..., 2m.
P
js
Теорема 13.2 Пусть выполнены условия (13.4) неограниченной разрешимости задачи и пусть справедливы неравенства:
c
(1+λ2)
−1
(ls,λ)=ω
s
и H
+
js
,
αjs/2
> 0,αjs≥ 0
js
определены условиями
js,k
iqkx
e
αjs+β
2
1s,k
R
n,+
+ ω
.
2s,k
,
e
iqk(2lk−x)
;
≤
ω
js,k
k =0, 1, ..., n +1;c
в которых вектор- функции ω
(x, λ)
v
k
тогда операторы P
жение пространств H
10
:ˆfjs→ fjsосуществляют непрерывное отобра-
js
β
2
Ω
R
Доказательство. Рассмотрим оператор P
где
f
js
Для функции f
f
js,k
где F
следует что:
1+λ
Следовательно,
1+λ
Следствие 13.1. Если f
единственное решение u ∈ H
(x)=
(x)=
s
2
2
n+1
θ (x − l
k=0
js,k
∞
ω
0
ˆ
f
- синус преобразование функцииˆf
js
β/2
(αjs+β)/2
ˆ
F
f
s
) θ (lk− x) f
k−1
js k
имеем интегральное представление:
1js,k
e
iqkx
+ ω
2js,k
iqk(2lk−x)
e
js
ω
∈ L
js,kFs
2(R+
ˆ
f
js
) .
∈ L
2(R+
β−1/2
∈ H
js
α+β,β
2
2
,α = minαjsосновной краевой зада-
(x) .
) ,j =1, 2.
чи (13.7)-(13.8).
157
:ˆfjs→ fjs,
js
F
[ˆgjs] λdλ,
s
. Из условия теоремы
js
(R1) ,β ≥ 1, то существует
Доказательство. Решение рассматриваемой краевой задачи можно
выразить с помощью операторов преобразования, по формуле
2
n
u =
j=1
Pjs[ˆujs] ,
s=1
поэтому утверждение вытекает из теоремы 13.2
13.4 Итерированное уравнение Лапласа в
q+1
R
n
Рассмотрим задачу о конструкции ограниченного на множестве
q+1
R
= In× Rq, решения сепаратной системы уравнений Лапласа с по-
n
стоянными коэффициентами
2
+Δ
q
uk=0,k=1, ..., n +1, (13.13)
y
q
2
k=1
∂
∂y
,
2
k
Δ
=
y
2
∂
2
a
k
∂x
по условиям неоднородного контакта на гиперплоскостях сопряжения
x = l
:
k
k
Γ
j1
[uk]−Γ
k
[u
]=fjk(y) ,x= lk,k=1, ..., n, j =1, ..., 2m. (13.14)
k+1
j2
В образах Фурье по переменной y задача (13.13)-(13.14) принимает
вид: найти решение сепаратной системы линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами
2
− σ
q
2
˜uk=0,k=1, ..., n +1 (13.15)
2
d
2
a
k
dx
по условиям неоднородного контакта в точках сопряжения интервалов
k
Γ
j1
[˜uk] − Γ
k
[˜u
]=˜fjk(σ) ,x= lk, (13.16)
k+1
j2
k =1, ..., n, j =1, ..., 2m,
158
Решение задачи (13.15)-(13.16) имеет вид:
n
s=1
∗
H
(|σ|,x,ls)˜fs(σ) ,
j,s
˜u
(x, σ)=
j
где
˜
f
s
(σ)=
⎛
⎜
⎝
f
˜
f
˜
s,2m
s,1
⎞
⎟
.
.
.
⎠
.
Возвращаясь к оригиналам Фурье, получим формулу для решений
задачи (13.13)-(13.14) в виде
(x, y)=
u
j
n
∞
=
s=1
−∞
H
(x, |η − y|,ls) fs(η) dη,
j,s
где
f
q
2
f
s,1
.
.
.
s,2m
J
⎞
⎟
⎠
q−2
(σ |y − η|)
2
|y − η|
,
∗
j,s
∗
H
q−2
2
(|σ|,x,ls) dσ.
j,s
⎛
⎜
(y)=
f
s
H
- обратное преобразование Фурье функции влияния H
j,s
1
(x, |η − y|,ls)=
H
j,s
√
2π
⎝
∞
σ
q
0
Перенеся контур интегрирования на действительную отрицательную
полуось, получим формулу для H
j,s
:
, т.е.
H
(x, |η − y|,ls)=ω
j,s
(x, λ)=ϕj(x, λ)
v
j,s
q +1
=Γ
ω
q
q−2
⎤
⎦
2
dσ,
(ls,λ) ,
⎡
⎣
(iλ)
∞
v
0
j,s
Ω
(x, λ) Re
−1
s
q
2
E0
q+1
−
2
.
π
H
q
2
1
(iλ |y − η|)
q−2
2
|y − η|
159
В результате формулу для решения основной задачи (13.13)-(13.14)
можно представить в виде:
(x, y)=ω
u
j
&
q
n
s=1
∞
v
0
j,s
(x, λ)
∞
0
Re#(iλ)
1
H
(iλ|y−η|)
q−2
q
2
2
|y−η|
q−2
$
f
(η) dη!λdλ.
s
2
13.5 Краевые задачи и операторы преобра-
зования в R
Если fjs∈ H
пространства R
⎧
Δˆu
⎨
⎩
s =1, ..., n; j =1, ..., 2m;
существует единственное решение ˆu
ся по формуле Пуассона. В результате формулу (13.12) можно переписать в терминах функций ˆu
β−1/2
(Rq) ,β≥ 1, то у каждой из задач Дирихле для полу-
2
q+1
:
+
=0,ls<x, y∈ Rq,
js
|
ˆu
= fjs(y) ,y∈ Rq,
js
x=l
s
q+1
n
js
.
β
∈ H
js
2
:
q+1
R
, которое находит-
+
∞
sinλξ ˆus(ξ,y) dξλdλ.
0
(x, y)=
u
k
n
∞
2
π
s=1
vks(x, λ)
0
Таким образом, можно определить серию операторов преобразования:
:ˆujs→ ujs,j =1, ..., 2m.
P
js
Решение рассматриваемой краевой задачи (13.15)-(13.16) можно выразить с помощью операторов преобразования, по формуле:
2
n
u =
j=1
Pjs[ˆujs] .
s=1
160
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]