Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Операторы преобразования для краевых задач, интегральных представлений и восстановления зависимостей
.pdf
χ (B
) - характеристическая функция для шарового слоя
i,0
= { x : ri< x <r0},χ(B
B
i,0
шара B
Оператор Λ
−1
Λ
= χ (B
i
= {x : x <ri}, соответственно.
n+1,i
−1
, обратный к Λi, имеет вид:
i
−1
) K
i,0
( E − KiSi) Mi+ χ (B
i
При этом
) - характеристическая функция для
n+1,i
)2( E + Ki)−1Mi. (22.3)
n+1,i
Γ ≡ Γ
· ... · Γ1, Λ ≡ Λn· ... · Λ1.
n
6.Четвертая краевая задача в шаре. Рассмотрим сепаратную систему
уравнений Лапласа
Δu
i
=0,x∈ B
,i=1, ..., n +1
i−1
с граничным условием
H+
∂
∂n
(η)=ˆu (η),η∈ S
u
1
0
с условиями сопряжения сферах Si= {ξ : ξ = ri} ; i =1, .., n :
K
M
juj
m−2
L
i
(ξ)=u
[uj(ξ)] = L
2
j+1
(ξ) ,
m−2
[u
(ξ)] ,ξ∈ S
j+1
2
i
где ˆu (η) - след на сфере η ∈ S0функции ˆu =ˆu (η) гармонической
α
из класса H
(B0) ,α ≥ 2 . Непосредственная проверка показывает, что
2
решение u = u (x) поставленной задачи существует, единственно, при-
α(B+
надлежит классу H
) ,α≥ 2 и
n
u (x, y)=
n+1
где u (x)=
ция множества B
&
k=1
χ (B
k−1
) uk(x) , χ (B
k−1
, P (x, ξ) - ядро Пуассона для единичного шара.
Оператор преобразования J :ˆu → u имеет вид: J [ˆu]=Λ
где
Γ ≡ Γ
Γi[f]=f (x)+ Xir
·... ·Γ1, Γ−1=Γ
n
m−2
fr
i
2
i
J [P (x, ξ)] ˆu (ξ)dξ,
S
0
) - характеристическая функ-
k−1
−1Γ−1
[ˆu] ,
−1
1
·... ·Γ
−1
, Λ ≡ Λn·... ·Λ1, Λ−1=Λ
n
−1
1
·... ·Λ
−1
n
x,Xi=(Mi− Ki)(Mi+ Ki)−1,i=1, ..., n ,
221
−1
Γ
- оператор, обратный к оператору Γi:
i
∞
∞
−1
Γ
i
Многочлены P
j,i
ратор сглаживания Λ
Λ
= χ (B
i
S
- инверсия относительно сферы Si: Si[u]=
i
χ (B
i,0
= { x : ri< x <r0},χ(B
B
i,0
шара B
к Λ
n+1,i
, имеет вид:
i
−1
Λ
i
) M
i,0
) - характеристическая функция для шарового слоя
= {x : x <ri} , соответственно. Оператор Λ
= χ (B
) K
i,0
[g]=
j=0
0
определены выше формулой (23.23). Определим опе-
относительно сферы Si:
i
−1
i
−1
( E − XiSi) Mi+ χ (B
i
K
i
+
E − K
P
(lnε)
j,i
H− E
ε
j!
i
S
+ χ (B
i
2
) - характеристическая функция для
n+1,i
2k
xdε,
gεr
i
E+K
−1
) M
n+1,i
)2( E + Ki)−1Mi.
n+1,i
x
r
m−2
i
m−2
i
u
−1
i
2
2
r
i
x
, обратный
i
x.
,
При этом
Γ ≡ Γ
· ... · Γ1, Λ ≡ Λn· ... · Λ1,
n
7. Обратная краевая задача Дирихле для кусочно-однородного шара.
Обозначим через P
оператор Pr: f (x) → u (ξ) , восстанавливаю-
r
щий граничные значения u (ξ) , ξ =1функции u ( x) гармонической
в шаре x < 1 , по заданным значениям f (x) этой функции на сфере
x = r, 0 <r<1. . Постановку и методы решения обратной кра-
евой задачи Дирихле можно найти, например, в [3]. Обратная краевая
задача Дирихле для кусочно-однородного шара состоит в определении
ˆu (ξ) , ξ =1по известным значениям u
(x) на сфере
j
x = r, r
Выразим оператор P
: uj(x) → ˆu (ξ) через модельный оператор Pr.
r,j
Из формулы (23.24) следует, что
P
r,n+1
Считая определенным оператор P
мулой:
P
r,j
−1
в которой оператор Λ
действует по правилу (23.23).
j
<r<r
j
= Pr· Γ.
−1
=Λ
j
222
.
j−1
, зададим оператор P
r,j+1
P
,
r,j+1
r,j
фор-
Глава 23
Операторы преобразования в
задаче о структуре
электромагнитного поля в
многослойной среде
Задача о структуре электромагнитного поля в многослойной электропроводной среде [] состоит в определении скалярного потенциала ϕ (t, x)
и векторного потенциала A ( t, x) в Q
=(0,T) ×I
T
циал ϕ (t, x) ,
n
ϕ (t, x)=
θ (x − l
j=1
является ограниченным на множестве I
) θ (lj− x) ϕj(t, x)+θ (x − ln) ϕ
j−1
+
+
. Скалярный потен-
n
( t,x) ,
n+1
:
n
+
I
=x : x ∈
n
n+1
U
j=1
(l
) ,l0=0,l
j−1,lj
= ∞,lj<l
n+1
,j=1, ..., n.
j+1
решением сепаратной системы (n+1) уравнений гиперболического типа:
4πμjσ
j
2
A
∂t
(t, x) ∈ Q
2
εjμ
∂
j
∂
+
2
2
A
∂t
,j=1, ..., n +1
T
2
∂
−
∂x
2
(t, x)=
ϕ
j
4π
ρj( t, x) ,
ε
j
223
(23.1)
по нулевым начальным условиям
(t, x) |
ϕ
j
∂
ϕj(t, x)|
∂t
t=0
=0,
=0,x∈ I
t=0
n
по граничному условию
= f0(t) (23.3)
ϕ
1
и условиям сопряжения x = l
∂
λ
k
∂x
,k=1, ..., n
k
= ϕ
ϕ
k
k+1
= λ
ϕ
k
k+1
∂x
∂
;
ϕ
k+1
Преобразуем уравнение (23.26) к виду
−
2
c
4πμjσ
∂x
2
∂
j
2
(t, x)=
ϕ
j
4π
ρj( t, x) ,
ε
j
2
∂
2
a
j
∂t
ε
=
b
j
4πσ
∂
+ b
j
2
∂t
j
2
,a
=
j
j
(t, x) ∈ QT,j=1, ..., n +1
В образах Лапласа задача (23.26)-(23.29) принимает вид:
a
2
p2+ bjp −
j
2
d
dx
(p, x)=
Φ
j
2
4π
Pj( p, x)
ε
j
j =1, ..., n +1
по граничному условию
= F0(p) (23.7)
Φ
1
и условиям сопряжения x = l
,k=1, ..., n
k
(23.2)
(23.4)
(23.5)
(23.6)
=Φ
Φ
k
k+1
d
λ
Φ=λ
k
dx
k
k+1
d
dx
Решение задачи (23.31)-(23.33) имеет вид:
l
m
4π
ε
m
l
m−1
∗
H
(p, x, ξ) Pm( p,ξ) dξ + W
j,m
(p, x)=
Φ
j
n+1
&
m=1
j =1, ..., n +1,
224
. (23.8)
Φ
k+1
∗
(p, x) F0(p) ,
j
(23.9)
где p- комплексный параметр, H
∗
(p, x) - образы Лапласа функций Грина [2]. Для функций H
W
j
∗
- образы Лапласа функций влияния
j,s
ведливы непосредственно проверяемые формулы:
при k<s
j,s
∗
спра-
∗
= ϕk(p, x) · ψs(p, ξ)
H
k,s
<x<lk,l
l
k−1
s−1
<ξ<ls;
1
ωs(p)
,
k, s =1,...., n +1,
при k>s
∗
H
= ψk(p, x) .ϕs(p, ξ)
k,s
<x<lk,l
l
k−1
s−1
<ξ<ls;
1
ωs(p)
,
k, s =1,...., n +1,
при k = s
⎧
(p, x) ψs(p, ξ)
ϕ
k
⎪
⎪
H
∗
k,s
⎨
=
⎪
⎪
⎩
<x<ξ<lk,
l
k−1
(p, x) · ϕs(p, ξ)
ψ
k
<ξ<x<lk,k=1, ..., n +1.
l
k−1
Здесь приняты обозначения: ϕ
1
,
ωs(p)
1
,
ωs(p)
(p, x) ,s=1, ...., n +1 решение сепа-
s
ратной системы обыкновенных дифференциальных уравнений
−
2
s
d
dx
= a
2
2
2
s
(p, x)=0
ϕ
s
p2+ bsp,
2
q
s
q
причем,
ϕ
1
и компоненты ϕ
(p, x) функции влияния определяются однозначно
s
по условиям сопряжения x = l
λ
s+1
dx
( p, x)=
,s=1,..., n
s
= ϕ
ϕ
s+1
d
ϕ
= λ
s+1
225
shq
s
q
s
d
dx
x
1
,
1
ϕ
.
s
Аналогично, ψk(p, x) - решение сепаратной системы обыкновенных
дифференциальных уравнений
2
q
k
При этом ψ
n+1
(p, x)=e
при помощи условий сопряжения в точках x = l
2
d
−
dx
−q
n+1
ψ
k
(p, x)=0.
ψ
k
2
x
, а функции ψk(p, x) определяются
,k=1, ..., n :
k
= ψ
k+1
d
λ
ψk= λ
k
dx
k
k+1
dx
d
.
ψ
k+1
Далее считаем выполненными условия неограниченной разрешимости задачи (23.31)-(23.33)
(p) =0,Rep= σ>σ0; s =1, ..., n +1, (23.10)
ω
s
где
(p, x) ψs(p, x)
ϕ
(p)=det
ω
s
s
/
(p, x) ψ
ϕ
s
/
s
Преобразуем выражения для функций влияния H
ψ
k
ϕ
= β1s(p)
s
= α1k(p) e
shq
q
−qkx
ξ
s
s
+ α2k(p) e
+ β2s(p)
−qk(2lk−x)
shq
s
(2ls− ξ)
q
s
(p, x)
,k =1, ..., n
,s=1, ..., n
.
∗
. Пусть
ks
Определим образы Лапласа модельных функций влияния Λ
мулами
при k<s
shqkx
∗
=
Λ
k,s
l
<x<lk,l
k−1
−qsξ
· e
s−1
,
<ξ<ls;
q
k
k, s =1,...., n +1,
при k>s
∗
фор-
ks
226
−qkx
shq
s
q
s
s−1
,
<ξ<ls;
∗
Λ
= e
k,s
<x<lk,l
l
k−1
ξ
k, s =1,...., n +1,
при k = s
⎧
shqkx
−qsξ
e
,l
<x<ξ<lk,
⎨
q
∗
Λ
=
k,s
k
−qkx
e
⎩
k =1, ..., n +1.
Из определения функций влияния H
H
+
ω
∗
(p, xξ)=
ks
1
α2kβ1sΛ
s
1
α1kβ1sΛ
ω
s
∗
(p, 2lk− x, ξ)+
ks
∗
ks
k−1
ξ
shq
s
,l
k−1
q
s
(p, x, ξ)+
1
α2kβ2sΛ
ω
s
<ξ<x<lk,
∗
следуют равенства:
ks
1
α1kβ2sΛ
ω
s
∗
ks
∗
(p, x, 2ls− ξ)+
ks
(p, 2lk− x, 2ls− ξ).
(23.11)
Непосредственной проверкой устанавливается, что функции Грина W
имеют вид:
∗
k
∗
W
= ψk(p, x)
k
<x<lk; k =1, ...., n +1.
l
k−1
1
ψ1(p,l0)
,
Определяя модельные функции влияния равенствами:
∗
V
(p, x)=
k
1
−qkx
e
q
k
,
с помощью разложения
= α1k(p) e
ψ
k
−qkx
+ α2k(p) e
−qk(2lk−x)
,k =1, ..., n,
устанавливаем представления для функций влияния W
∗
W
k
l
k−1
Определим серию операторов преобразования P
=
ψ1( p,l0)
1
α1k(p) V
∗
(p, x)+
k
<x<lk; k =1, ...., n +1,
1
ψ1( p,l0)
α2k(p) V
++
ks
∗
k
,P
вилам:
++
: ps(t, x) → p
P
ks
++
(t, x)=L
ks
1
−1
α1kβ1sPs(p, x),
ω
s
227
∗
:
k
(p, 2lk− x) ,
+−
−+
,P
ks
,P
ks
−−
ks
(23.12)
по пра-
P
P
P
P
P
Здесь L
+−
: ps(t, x) → p
ks
−+
: ps(t, x) → p
ks
−−
: ps(t, x) → p
ks
+
: f0(t) → f
k
−
: f0(t) → f
k
−1
- обратное преобразование Лапласа.
+−
ks
−+
ks
−−
ks
+
(t)=L
k
−
(t)=L
k
Учитывая, что функции u
(t, x)=L
(t, x)=L
(t, x)=L
−1
−1
∗
(p, x) определены корректно и являют-
j
1
−1
ω
s
1
−1
ω
s
1
−1
ω
s
1
ψ1( p, l0)
1
ψ1( p, l0)
α1kβ2sPs(p, x),
α2kβ1sPs(p, x),
α2kβ2sPs(p, x),
(p) F0(p),
α
1k
(p) F0(p).
α
2k
ся изображениями Лапласа в силу условий неограниченной разрешимости, возвращаясь к оригиналам, с учетом определения операторов
преобразования, получим формулу для неизвестной структуры электромагнитного поля:
l
ϕ
j
&
+
&
+
&
+
+
(t, x)=
t
0
&
t
n+1
4π
m=1
ε
0
m
t
n+1
4π
m=1
ε
0
m
t
n+1
4π
m=1
ε
0
m
Vj(τ,x) f
n+1
m=1
l
m
l
m−1
l
m
l
m−1
l
m
l
m−1
+
( t−τ ) dτ +
k
m
t
4π
Λjm(τ,x,ξ) p
ε
0
m
l
m−1
Λjm(τ,x,2lm− ξ) p
Λjm(τ,2lj− x, ξ) p
++
jm
+−
( t−τ,ξ) dξ+
jm
−+
( t−τ,ξ) dξ+
jm
Λjm(τ,2lj− x, 2lm− ξ) p
t
Vj(τ,2lj− x) f
0
( t−τ,ξ) dξ+
−−
( t−τ,ξ) dξ+
jm
−
( t−τ ) dτ ;
k
(23.13)
j =1, ..., n +1.
Замечание. Формулы (23.38) значительно упрощаются в том случае когда отношения
влияния и функций Грина имеют вид:
ε
i
- постоянны. Соответствующие компоненты функций
σ
i
228
Λkm( t, x,ξ)=
b
− I
k
t2− (akx + amξ)
2
0
2a
k
0
b
k
t2− (akx − amξ)
2
2a
k
2
θ (t − (a
x + amξ));
k
b
k
−
t
2
1
2a
k
e
2
I
2
θ (t −|a
x − amξ|) −
k
k, m =1, ..., n +1;
V
k
(t, x)=e
b
k
−
t
b
2
2a
k
k
I
0
2a
k =1, ..., n +1.
2
k
t2− a
2
k
x
2
θ (t − a
k
x) ,
229
Глава 24
Краевые задачи для функций,
бигармонических в
кусочно-однородном
полупространстве
24.1 Краевые задачи для бигармонических
функций в кусочно-однородном полупространстве с одной гиперплоскостью сопряжения.
Пусть функция ˜u =˜u (x, y) гармоническая в полупространстве
m+1
= { (x, y):x ∈ Em,y >0 }, т.е.
E
+
Δ˜u =0, (x, y) ∈ E
и пусть выполняются условия: ˜u, y ˜u ∈ H
ратную систему бигармонических уравнений:
2
u0=0, (x, y) ∈ Em× (−∞, 0) ,
Δ
2
u1=0, (x, y) ∈ Em× (0, ∞) ,
Δ
с неоднородными условиями сопряжения:
230
m+1
+
α
m+1
E
. Рассмотрим сепа-
+
(24.1)
(24.2)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]