Операторы преобразования для краевых задач, интегральных представлений и восстановления зависимостей



√

Функции H

∗

p, x, ξопределены корректно в силу условий неогра-

k,s

ниченной разрешимости задачи (11.1)-(11.3). Функции влияния позволяют найти решение сепаратной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами



2

d

2

− pzk=0,k=1, ..., n +1, (11.7)

a

k

2

dx

по краевым условиям

]|

Γ

0[z1

x=l

0

= g0, Γ

n+1[zn+1

]|

x=l

n+1

= g

n+1

(11.8)

и условиям неоднородного контакта в точках сопряжения интервалов

k

Γ

j1

[zk] − Γ

k

[z

]=gjk,x= lk,k=1, ..., n, j =1, 2. (11.9)

k+1

j2

Непосредственная проверка показывает, что решение задачи (11.7)(11.9) имеет вид:

+

z

n



s=1

j

(x)= H

H

∗

(√p, x, ls)

j,s

∗

(√p, x, l0)

j,1

Рассмотрим задачу о конструкции ограниченного на множестве I





0



1



g

1s

.

g

2s

g0+ H

∗

(√p, x, l

j,n

n+1





0

)

g

+

n+1

1

×

n

(−∞, ∞) , решения сепаратной системы уравнений Лапласа с постоян- ными коэффициентами



2

∂

2

a

k

2

∂x



2

∂

+

∂y

=0,k=1, ..., n +1, (11.10)

u

k

2

по краевым условиям

]|

Γ

0[u1

= f0(y) , Γ

x=l

0

n+1[un+1

]|

x=l

n+1

= f

(y) , −∞ <y<∞

n+1

(11.11)

и условиям неоднородного контакта на линиях сопряжения x = l

k

[uk] yk− Γ

Γ

j1

k

[u

]=fjk(y);x = lk,k=1, ..., n, j =1,n. (11.12)

k+1

j2

:

k

В образах Фурье по переменной y задача (11.10)-(11.12) принимает вид: найти решение сепаратной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

131



2

d

2

a

k

dx

по краевым условиям

2

− σ



2

=0,k=1, ..., n +1, (11.13)

˜u

k

[˜u1]|

Γ

0

=˜f0(y) , Γ

x=l

0

n+1

[˜u

n+1

]|

x=l

n+1

=˜f

(y) , −∞ <y<∞ (11.14)

n+1

и условиям неоднородного контакта в точках сопряжения интервалов

k

[˜uk] − Γ

Γ

j1

Для неизвестного ˜u

(x, σ)=H

˜u

j

n



+

s=1

H

∗

j,s

k

[˜u

k+1

j2

∗

(|σ|,x,l0)

j,1

(|σ|,x,ls)

]=˜fjk(σ) ,x= lk,k=1, ..., n, j =1, 2. (11.15)

(x, σ) имеем:

j





0

˜

f0(σ)+H

1



f f



˜

(σ)

1s

˜

(σ)

2s

∗

(|σ|,x,l

j,n

.

n+1





0

)

˜

f

(σ)+

n+1

1

Возвращаясь к оригиналам Фурье, получим формулу для решений задачи (11.10)-(11.12) в виде





u

+H

где H

H

- обратное преобразование Фурье функции влияния H

j,s

(x, |η − y|,ls)=

j,s

(x, y)=

j

j,n

+

∞

−∞

(x, |η − y|,l

n

&

H

(x, |η − y|,ls)

j,s

s=1

1

√

2π

(x, |η − y|,l0)

H

j,1

)

n+1



∞

−∞

Учитывая, что особые точки λ





0 1

iσ|η−y|H∗

e

функции ωs(p) -суть простые полю-

j



f

(η)+

n+1



f

(η)

1s

(η)

f

2s

(|σ|,x,ls) dσ.

j,s

0 1





(η)+

f

0

dη,

∗

, т.е.

j,s

са, по первой теореме разложения [18], последнюю формулу приведем к виду:

(x, |η − y|,ls)=

H

j,s

2

π

∞



j=1

ϕj(x, λi)

132



10

∗



Ω

(ls,λi)

s

/

ω

s

(λi)

−λi|η−y|

e

,

здесь Ω выражения для H

∗

- матрица, присоединенная к матрице Ω,ωs≡ det Ωs. Из

s

, получим формулу для решения основной задачи

j,s

(11.10)-(11.12) в виде





(x, y)=

u

j

+

2

π



j=1

2

π

∞



j=1

∞



2

ϕj(x, λi)

π

j=1

ϕj(x, λi)

n



ϕj(x, λi)

s=1



10



10



Ω

∗

(l

n

ω



Ω

n+1,λi

/

(λi)

n



Ω

ω

∗

(l0,λi)

1

/

ω

1

∗

(ls,λi)

s

/

(λi)

s

(λi)

)





0 1



∞

−∞

0 1



∞

−∞

−λi|η−y|

e



−∞

−λi|η−y|

e

∞



−λi|η−y|

e

f

n+1

(η)

f

1s

(η)

f

2s

f0(η) dη+

(η) dη+



dη.

11.3 Краевые задачи и операторы преобра-

зования в I

× (−∞, ∞) .

n

Рассмотрим модельные задачи Дирихле для полуплоскости:



Δˆu

ˆu



Δˆu

=0,ls<x, −∞ <y<∞

js

|

= fjs(y) , −∞ <y<∞,s =1, ..., n; j =1, 2.

js

x=l

s

Если f

ˆu

0,fn+1,fjs

задач существует, единственное решение ˆu

=0,l0<x,−∞ <y<∞

Δˆu

0

|

= f0(y) , −∞ <y<∞,

ˆu

0

x=l

0

n+1

∈ H

=0,l

|

x=l

n+1

β−1/2

2

<x,−∞ <y<∞

n+1

= f

(y) , −∞ <y<∞;

n+1

(R1) ,β ≥ 1, то у каждой из указанных

0

, ˆu

, ˆujs∈ H

n+1

β

(R+× R) [11],

2

которое находится по формуле Пуассона для полупространства. Основ-

, ˆu

ную формулу можно переписать в терминах функций ˆu

0

, ˆujs, соот-

n+1

ветственно:







0 1

∞

sinλξ ˆu0(ξ,y) dξ+

0

(x, y)=

u

j

∞



i=1

ϕj(x, λi)



10

∗



Ω

(l0,λi)

1

/

ω

(λi)

1

133







∞

0 1



0

∞

0

sinλξ

sinλξ ˆu



ˆu ˆu

1s

2s

n+1

(ξ,y) (ξ,y)

(ξ,y) dξ+



+



+

∞

i=1



ϕj(x, λi)

∞



s=1

i=1

n

vj(x, λi)



10



10

∗



(l

Ω

n

ω



n+1,λi

/

(λi)

n

∗

Ω

s

ω

)

(ls,λi)

/

(λi)

s

Таким образом, можно определить серию операторов преобразования:

:ˆu0→ u0,u0(x, λ)=

P

0

∞

u

0k

(x, y)=



i=1

далее

:ˆu

P

n+1

ϕk(x, λi)

→ u

n+1,un+1

u

n+1,k





0

·

1



10

(x, y)=

∞



sinλξ ˆu

0

n+1

&

θ (x − l

k=1



Ω

(x, λ)=

∞

&

ϕk(x, λi)

i=1

∗

1

ω

n+1

(l0,λi)

/

1

n+1

&

k=1

) θ (lk− x) u

k−1



(λi)

θ (x − l



10

(ξ,y) dξ,





0 1

) θ (lk− x) u

k−1



∗

Ω

(l

n

ω

(x, λ):

0 k

∞

sinλξ ˆu0(ξ,y) dξ;

0

n+1,k

,λi)

n+1

·

/

(λi)

n

а также следующие операторы:

n+1

:ˆujs→ ujs,j =1, 2,ujs(x, λ)=

P

js

∞

n



u



=

1s,k



u

=

2s,k

i=1

∞

i=1

s=1

n



s=1

vj(x, λi)



10

Правильное описание гладкости функций u

, ˆu

о гладкости функций ˆu

, ˆujsприведем в частном случае краевой

0

n+1

&

θ (x − l

k=1

(ls,λi)

/

(λi)

s

(ls,λi)

/

(λi)

s



∗



Ω

s

ω

∗



Ω

s

ω

) θ (lk− x) u

k−1





1 0

0 1

0,un+1,ujs

∞

0





∞

0

js,k

sinλξ ˆu1s(ξ,y) dξ,

sinλξ ˆu2s(ξ,y) dξ.

по информации

задачи с граничными условиями вида:

= α0+ β

Γ

9

Теорема 11.1 Операторы P

осуществляют непрерывное отображение пространств H

f

js

2

(In) .

H

2

d

0

dx

, Γ

n+1

= α

n+1

+ β

:ˆu0→ u0,P

0

n+1

dx

d

, Γ

ij

n+1

= αij+ β

:ˆu

n+1

ij

→ u

d

.

dx

n+1,Pjs

2

dξ.

(x, λ):

:ˆfjs→





R

+

и

134

Доказательство. Рассмотрим случай оператора Pjs:ˆgjs→ gjs,

где

(x)=

g

js

Из условия теоремы следует, что: (1 + λ последовательность (1 + λ

2

(In) .

H

2

Следствие 11.1. Если f ственно решение u ∈ H

n



k=1

θ (x − l

) θ (lk− x) g

k−1

2

) Fs[ˆgjs](λi) ∈ l2и, значит, функция gjs∈

i

0,fn+1,fjs

2

(In× R) основной краевой задачи (11.10)-(11.12).

2

(x)+θ (x − ln) g

js k

2

) Fs[ˆgjs] ∈ L2(R+) . Тогда

3/2

∈ H

(R) ,, то существует и един-

2

js, n+1

(x) .

Доказательство. Утверждение следует из теоремы 11.1, т.к. решение рассматриваемой краевой задачи можно выразить с помощью операторов преобразования, по формуле

2

n



u = P

[ˆu0]+P

0

n+1

[ˆu

n+1

]+

j=1



Pjs[ˆujs] .

s=1

11.4 Разложение операторов преобразования

в ряд отражений и сдвигов.

Заметим, что представление в форме ряда для операторов преобразования малоэффективно на практике; в нем участвуют не функции

, ˆu

ˆu

ственных чисел λ удобных представлений, допускающих простую физическую интерпретацию, преобразуем выражения для функций влияния H

ω

члены. Условия неограниченной разрешимости (11.5) принимают вид:

условиями:

, ˆujs, а их изображения Фурье, при этом требуется знание соб-

0

n+1

задачи Штурма-Лиувилля. С целью получения более

i

∗

k,s



−√p(l

.

n+1

−ln) t

где α

ks,1,ωks,2

=0, ..., α

α

1

Пусть p

t1,...,t

, ..., α

1

∗

=ω

H

k,s

∞



t

1

α

· ... · α

1

=0

n+1

некоторые однозначно определяемые многочлены,

n+1

ks,1

t

n+1

−qkx

e

−√p(l1−l0) t

e

+ ω

ks,2

−qk(2lk−x)

e

1

· ... · e

-матрицы размера 1 ×2, элементы которых- некоторые много-

=0, |α1|≤1, ..., |α

n+1

t

,j =1, 2; t =(t1, ..., t

ks,j

|≤1,Rep≥ σ0> 0,

n+1

) - операторы, определяемые

n+1



√

p, x, ξ:

n+1

,

135

t

qkx

p

[e

]=ω

ks,1η1

]=ω

ks,2η2

) ,η1=

t =(t

p

ks,1 t ks,2

, ..., t

1

qkx

[e

n+1

тогда оператор преобразования P

∞



1t=0

t

p

[ˆuks(x + δt)] + p

ks,1

P

ks

[ˆuks]=

где

t

α

1

t

α

1



ks

n+1

1

1 0

· ...α



e

n+1 t

n+1

e

n+1

,η2=

qkx

, ,





0

;

1

можно представить в виде:

t1,...,t

n+1

ks,2

[ˆuks(2lk− x + δt)] ,

δt= δ

1t1

+ ... + δ

n+1tn+1

.

11.5 Уравнение Лапласа в In× Rm.

Рассмотрим задачу о конструкции ограниченного на множестве

×Rm, решения сепаратной системы уравнений Лапласа с постоянными

I

n

коэффициентами



2

∂

2

a

k

∂x

по краевым условиям

Γ

]|

0[u1

x=l

0

и условиям неоднородного контакта на гиперплоскостях сопряжения

:

x = l

k

[uk] − Γ

Γ

j1

В образах Фурье с неразделенными переменными задача (11.16)-(11.18) принимает вид:



2

+Δ

=0,k=1, ..., n +1, Δy=

u

y

k

= f0(y) , Γ

k

[u

]=fjk(y) ,x= lk,k=1, ..., n, j =1, 2. (11.18)

k+1

j2

n+1[un+1

] |

x=l

n+1

= f

m

2



∂

2

∂y

k

k=1

(y) ,y ∈ Rm(11.17)

n+1

(11.16)

136

найти решение сепаратной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами



d

2

a

k

dx



2

− σ

=0,k=1, ..., n +1, (11.19)

˜u

k

по краевым условиям

[˜u1]|

Γ

0

Γ

n+1

[˜u

x=l

n+1

0

=˜f0(σ) ,

] |

x=l

n+1

=˜f

n+1

(σ) ,

и условиям неоднородного контакта в точках сопряжения интервалов

k

Γ

j1

[˜uk] − Γ

k

[˜u

]=˜fjk(σ) ,x = lk,k=1, ..., n, j =1, 2. (11.21)

k+1

j2

Решение задачи (11.19)-(11.21) имеет вид:



(x, σ)=H

˜u

j

∗

(|σ|,x,l0)

j,1



0

˜

f0(σ)+H

1

n



∗

H

+

s=1

(|σ|,x,ls)

j,s

∗

j,n



˜

f

˜

f

(|σ|,x,l

(σ)

1s

(σ)

2s





0

n+1

)

˜

f

n+1

1



. (11.22)

Возвращаясь к оригиналам Фурье, получим формулу для решений задачи (11.16)-(11.18) в виде:





0 1

(η)+



(η)

1s

(η)

2s

(σ |y − η|)

m−2

2

f0(η)+

dη,

∗

H

j,s

(|σ|,x,ls) dσ.

u

+H

где H

H

- обратное преобразование Фурье функции влияния H

j,s

(x, |η − y|,ls)=

j,s

(x, y)=

j

(x, |η − y|,l

j,n

&

+

s=1





m

R

n

H

j,s

√



(x, |η − y|,l0)

H

j,1



0

)

n+1

1

(x, |η − y|,ls)



1

2π

∞



σ

m

0

m

2





J

f

n+1

f f

m−2

2

|y − η|

Из первой теоремы разложения [18] следует формула:

(11.20)

(σ)+

∗

, т.е.

j,s

137

∞

H

(x, |η − y|,ls)=ω

j,s

(x, λp)=ϕj(x, λp)

v

j,s

здесь H

1 m/2−1

-бесселевы функции третьего рода [19]. Учитывая по-

m





p=1

10

v

(x, λp) Re

j,s



Ω

∗

(ls,λp)

s

/

ω

(λp)

s

лученное выражение для функций H основной задачи (11.16)-(11.18) в виде

⎡

⎣

(iλ

,ωm=Γ

, получим формулу для решения

j,s

1

H

(iλp|y − η|)

m−2

m

2

)

p





m+1

2

|y − η|

m+1

−

π

m−2

2

,

⎤

⎦

,

1

m−2

2

m−2

⎤





0

⎦

2

⎤



⎦

⎤



⎦

(η) dη+

f

0

1



0 1

f

1s

f

2s

f

(η) (η)

n+1



(η) dη+

dη.

(x, y)=ω

u

j

+ω

m

+ω

∞



p=1

m

v

∞



p=1

j,n+1

v



m

(x, λp)

j,s

∞

p=1

v

j,0

(x, λp)



Re

m

R



Re

n

R



R

⎡

⎣

⎡

⎣

Re

n

(iλ

(iλp)

⎡

H

m

2

⎣

)

(iλ

p

|y − η|

1

H

(iλp|y − η|)

m−2

m

2

)

p

m−2

|y − η|

1

H

(iλp|y − η|)

m−2

m

2

m−2

|y − η|

11.6 Краевые задачи и операторы преобра-

зования в I

Рассмотрим следующие задачи Дирихле для полупространства R



Δˆu

ˆu



=0,ls<x, y∈R

Δˆu

js

ˆujs|

= fjs(y) ,y∈ Rm,s=1, ..., n; j =1, 2.

x=l

s

× Rm.

n

=0,l0<x,y∈ Rm,

Δˆu

0

|

= f0(y) ,y∈ R

ˆu

0

x=l

0

=0,l<x,y∈ R

n+1

|

x=l

0

= f

n+1

m

(y) ,y∈ R

m

m+1

:

+

,

m

.

138

Если f0,f

n+1,fjs

задач существует, единственное решение ˆu

∈ H

β−1/2

(Rm) ,β ≥ 1, то у каждой из указанных

2

, ˆu

, ˆujs∈ H

0

n+1



β

2



m+1

R

[11],

+

которое находится по формуле Пуассона для полупространства. Так же как и в п.6, будем иметь

2

n



u = P

[ˆu0]+P

0

n+1

[ˆu

n+1

]+

j=1



Pjs[ˆujs] .

s=1

139

Глава 12

Неоднородные краевые задачи для m- гармонических функций в кусочно-однородном полупространстве

12.1 Итерированная задача Штурма- Лиувил-

ля для оператора Фурье.

Рассмотрим задачу Штурма- Лиувилля о конструкции ограниченного на

+

множестве I

нетривиального решения сепаратной системы линейных

n

обыкновенных дифференциальных уравнений



d

dx



+ q

m

2

yk=0,q

k

2

−2

= a

· λ2,ak> 0,k =1, ..., n +1, (12.1)

k

2

по краевым условиям



s

dx

y

n+1

s



< ∞,s=0, ..., m − 1(12.2)



x=∞

Γ

0s[y1



]

=0,



x=l

0



d



и условиям контакта в точках сопряжения интервалов

k

Γ

j1

[yk]=Γ

k

[y

] ,x= lk,k=1, ..., n, j =1, ..., 2m, (12.3)

k+1

j2

140