Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Операторы преобразования для краевых задач, интегральных представлений и восстановления зависимостей
.pdf
k =0, ..., n, j =1, 2,
имея в виду условия (16.5), можно определить n пар функций (ϕ
Введем также обозначения
k,ψk
) ,.
k
[ϕ
Γ
Γ
(r)] = ϕ
k,l
ij
k
[ψ
(r)] = ψ
k,l
ij
Заметим, что определители det Ω
k
(r);i, j =1, 2; k =1, ..., n; l ∈ Z,
ij,l
k
(r) ,i,j =1, 2; k =1, ..., n, l ∈ Z,
ij,l
(ρ);k =1, ..., n; l ∈ Z не зависят
k,l
от ρ.
В дальнейшем считаем что, выполнены условия неограниченной разрешимости задачи:
k
k
,α
1) числовые последовательности α
j1,l
при l →∞имеют рост не
j2,l
выше степенного,
2) для каждого целого l ∈ Z выполнены условия:
det Ω
Определим функций влияния H
(ρ) =0;k =1, ..., n. (16.7)
k,l
∗
по формулам:
j,s
при k<s
0
; rk<r<r
1
k−1,rs
<ρ<r
H
∗
ks,l
= ϕ
k,l
(r)
10
−1
Ω
(ρ)
s,l
при k>s
0
,rk<r<r
1
k−1,rs
<ρ<r
H
∗
ks,l
= −ψ
k,l
(r)·
01
−1
Ω
(ρ)
s,l
s−1
,
s−1
,
при k = s
⎧
⎪
⎪
⎨
∗
=
H
ks,l
⎪
⎪
⎩
Функции H
(r)
ϕ
k,l
(r) ·
−ψ
k,l
∗
(r, ρ) определены корректно в силу условий неогра-
ks,l
10
01
Ω
−1
k,l
(ρ)
0
,rk<r<ρ<r
1
0
,rk<ρ<r<r
1
k−1
,
k−1
.
(ρ)
−1
Ω
s,l
ниченной разрешимости задачи. С их помощью решение задачи (16.3)(16.4) находится по формуле:
181
n
s=0
H
∗
j,s
ˆuj(r)=
Преобразование Фурье на сфере S
(r, rs)
с неразделенными переменными
0
ˆg
1s
. (16.8)
ˆg
2s
[8] приводит задачу (16.1)-(16.2) к виду:
найти решение сепаратной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
r
1
N−1
d
dr
(r
N−1
d˜u
k,l
) − l (l + N − 2)
dr
1
˜u
=0;l ∈ Z (16.9)
k,l
2
r
по условиям неоднородного контакта в точках сопряжения интервалов
k
[˜u
Γ
j1,l
k,l
] − Γ
k
j2,l
[˜u
k+1,l
]=r
N−1
k
˜
f
,r = rk,k =1, ..., n ; j =1, 2. (16.10)
jk,l
Из формулы (16.8) следует, что решение задачи (16.9)-(16.10) имеет
вид:
˜u
j,l
(r)=
n
s=0
H
∗
j,s,l
(r, rs) r
N−1
s
˜
f
1s,l
. (16.11)
˜
f
2s,l
Возвращаясь к оригиналам Фурье, получим формулу для решений
задачи (16.1)-(16.2) в виде:
(η)
f
1s
f
2s
dη, (16.12)
(η)
(r, η)=
u
j
n
1
ω
N
H
(r, rs, η, ξ) r
S
0
j,s
s=0
N−1
0
где
∞
H
(r, rs, η, ξ)=
j,s
l + N/2 − 1
N/2 − 1
l=0
C
N/2−1
l
(η, ξ) H
∗
j,s,l
(r, rs) .
16.2 Краевые задачи и соответствующие опе-
раторы преобразования
Рассмотрим модельные задачи Дирихле в единичном шаре B0:
182
Δˆu
=0,x∈ B0,
Если функция f
jq
= fjq(η) ,η∈ Sq.
ˆu
jq
(η) непрерывна на соответствующей сфере, то ре-
jq
,
шение каждой из указанных задач существует, единственно и находятся
по формуле Пуассона для шара. Основную формулу (16.12) можно преобразовать к виду :
2
n
s=0
H
H
Pjs[ˆujs] ,
∗
(r, rs) r
j,s,l
∗
(r, rs) r
j,s,l
N−1
s
N−1
s
01
−l
r
0
−l
r
·
0
·
1
где P
P
,j =1, 2 - операторы преобразования:
js
:ˆujs→ ujs,j =1, 2,
js
(r, η)=
u
1s,j
u
(r, η)=
2s,j
·
·
∞
l=0
∞
l=0
S
0
S
0
u =
j=1
l + N/2 − 1
N/2 − 1
N/2−1
C
(η, ξ)ˆu1s(r, η) dS
l
l + N/2 − 1
N/2 − 1
N/2−1
C
(η, ξ)˜u2s(r, η) dS0.
l
Из условий (16.7)неограниченной разрешимости следует
Теорема 16.1 Каждый оператор преобразования P
ции ˆu
гармоническую в кусочно- однородном шаре B
функции u
гармонической в однородном шаре rqB0функцию ujqкусочно-
jq
, компоненты которой -
n
непрерывные в шаровом слое Vk.
jq,k
183
сопоставляет функ-
jq
Глава 17
Неоднородные краевые задачи
для функций
кусочно-гармонических в
сферическом слое
17.1 Краевые задачи с условиями сопряже-
ния в сферическом слое
Пусть Bn- кусочно-однородный сферический слой:
n+1
4
B
=
n
который допускает параметризацию B
Vi; Vi=)x ∈ RN: ri< x <r
i=1
:
n
i−1
,
,,
= S0× In; In=r : r ∈
B
n
S
- единичная сфера из RN.
0
Рассмотрим задачу о конструкции ограниченного на множестве B
решения сепаратной системы уравнений Лапласа с постоянными коэффициентами
=0,x∈ Vk; k =1, ..., n +1 (17.1)
Δu
k
184
n+1
U
j=1
(rj,r
j−1
),
,
n
по краевым условиям
]|
r=r
]|
r=r
0
= g0,
n+1
= g
n+1
(17.2)
Γ
0[u1
Γ
n+1[un+1
по условиям неоднородного контакта на гиперсферах сопряжения S
:
k
k
Γ
[uk] − Γ
j1
здесь Γ
перестановочные с оператором r
k
[u
]=fjk(η);η ∈ Sk; k =1, ..., n, j =1, 2; (17.3)
k+1
j2
k
, Γ
k
, Γ
(j =1, 2; k =1, ..., n) - некоторые операторы,
j1
j2
d
.
dr
, Γ
0
n+1
Изучим вспомогательную задачу о конструкции ограниченного на
множестве I
нетривиального решения сепаратной системы линейных
n
обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
r
1
N−1
dr
d
N−1
r
dˆu
k,l
dr
− l (l + N −2)
1
ˆu
=0;l ∈ Z (17.4)
k,l
2
r
по краевым условиям
Γ
[ˆu
0
1,l]|r=r
0
=ˆg
, Γ
n+1
[ˆu
n+1,l]|r=r
0,l
n+1
=ˆg
n+1,l
(17.5)
и условиям контакта в точках сопряжения интервалов
k
[ˆu
Γ
j1,l
Сформулируем условия на граничные операторы Γ
k,l
] − Γ
k
j2,l
[ˆu
k+1,l
]=ˆg
,r = rk,k =0, 1, ..., n; j =1, 2. (17.6)
jk,l
n+1
, Γ
k
ij
, Γ
0
достаточные для однозначной разрешимости задачи (17.4)-(17.6). Определим
последовательности
α
0,l,αn+1,l
,α
k
1j,l
k
,α
; l ∈ Z из равенств:
2j,l
Γ
0
l
r
= α
· rl,
0,l
l
r
Γ
n+1
k
l
k
r
Γ
= α
ij
ij,l
= α
· rl,i,j =1, 2; k =0, 1, ..., n
n+1,l
· rl,
185
и потребуем выполнения условий:
k
α
1j,l
k
α
2j,l
=0,l ∈ Z.
n+1,l
0,l
=det
kj
=0,α
n+1,l
det M
α
Обозначим через ψ
(17.4), удовлетворяющее граничному условию: Γ
k
α
α
1j,−l
k
2j,−l
=0,k=0, ..., n, j =1, 2;
(r) решение дифференциального уравнения
n+1[ψn+1,l
]|
r=r
Рекуррентными соотношениями определим остальные n функций ψ
k
(ψ
Γ
k,l
j1
Аналогично, через ϕ
)= Γ
k
(ψ
) ,r= rk,k=1, ..., n, j =1, 2.
k+1,l
j2
(r) обозначим решение дифференциального
1,l
уравнения (17.4), удовлетворяющее граничному условию:
]|
Γ
0[ϕ1,l
r=r
0
=0.
Рекуррентным соотношениями определим остальные n функций ϕ
k
(ϕ
Γ
k+1,l
j2
Функции ϕ
k
)=Γ
k,l
(ϕ
) ,r= rk,k=1, ..., n, j =1, 2. (17.8)
k,l
j1
и ψklопределены корректно ввиду условия (17.7).
Введем также обозначения
k
[ϕ
Γ
(r)] = ϕ
k,l
ij
k
(r) ,i,j =1, 2; k =1, ..., n,
ij,l
n+1
(17.7)
=0.
k,l
:
kl
:
k
[ψ
Γ
(r)] = ψ
k,l
ij
Ω
k,l
Заметим, что определители det Ω
(ρ)=
k
(r) ,i,j =1, 2; k =1, ..., n,
ij,l
k
ϕ
11,l
k
ϕ
12,l
k
(ρ) ψ
(ρ) ψ
k,l
(ρ)
11,l
k
(ρ)
12,l
(ρ) не зависят от ρ.
.
Всюду ниже считаем выполненными условия неограниченной разре-
шимости задачи:
k
1) числовые последовательности α
0,l,αn+1,l
,α
j1,l
k
,α
при l →∞име-
j2,l
ют рост не выше степенного;
2) для каждого целого l ∈ Z выполнены условия:
186
det Ω
Введҷм функций влияния H
(ρ) =0;k =1, ..., n. (17.9)
k,l
∗
следующими формулами:
j,s
при k<s
0
,
1
∗
H
ks,l
<r<r
r
k
= ϕ
(r)
k,l
k−1,rs
10
<ρ<r
−1
Ω
(ρ)
s,l
; k, s =1, ..., n +1,
s−1
при k>s
0
,
1
∗
H
ks,l
<r<r
r
k
= −ψ
(r) ·
k,l
,rs<ρ<r
k−1
01
−1
Ω
(ρ)
s,l
,
s−1
при k = s
Функции H
⎧
⎪
⎪
ϕ
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
H
∗
ks,l
∗
k,s
r
=
⎪
⎪
ϕ
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
r
(r, ρ) определены корректно в силу условий неограни-
10
(r)
k,l
<r<ρ<r
k
01
(r)
k,l
<ρ<r<r
k
k−1
k−1
−1
Ω
s,l
−1
Ω
s,l
.
(ρ)
(ρ)
0
,
1
0
,
1
ченной разрешимости задачи. Решение задачи (17.4)-(17.6) можно найти
используя функции влияния:
ˆu
j,l
(r)= H
∗
j1,l
(r, r0)
+
n
s=1
H
0
ˆg
1
∗
(r, rs)
js,l
∗
+ H
0,l
jn,l
ˆg
ˆg
(r, r
1s,l
2s.l
0
n+1
)
ˆg
+
n+1,l
1
. (17.10)
В изображениях Фурье с неразделенными переменными на сфере S
задача (17.1)-(17.3) принимает вид:
найти решение сепаратной системы линейных дифференциальных урав-
нений с постоянными коэффициентами
r
1
N−1
d
dr
(r
N−1
d˜u
k,l
) − l (l + N − 2)
dr
1
˜u
=0;l ∈ Z (17.11)
k,l
2
r
187
0
по краевым условиям
[˜u
] |
Γ
0
1,l
r=r
0
= r
N−1
0
˜g
0,l
, Γ
n+1
[˜u
n+1,l
] |
r=r
n+1
= r
N−1
n+1
˜g
n+1,l
по условиям неоднородного контакта в точках сопряжения интерва-
лов
k
[˜u
Γ
j1,l
k,l
] − Γ
k
j2,l
[˜u
k+1,l
]=r
N−1
k
˜g
,r = rk,k =1, ..., n ; j =1, 2. (17.13)
jk,l
Из формулы (17.10) следует, что решение задачи (17.11)-(17.13) имеет
вид:
0
1
˜u
j,l
&
+
(r)=H
n
H
s=1
∗
js,l
∗
j1,l
(r, r0) r
(r, rs) r
N−1
s
N−1
0
01
˜g
˜g
1s,l
2s,l
+ H
∗
jn,l
(r, r
˜g
0,l
n+1
) r
N−1
n+1
.
Возвращаясь к оригиналам Фурье, получим формулу для решений
задачи (17.1)-(17.3) в виде
(r, η)=
u
j
+
+H
s=1
1
ω
N
(r, r
jn
n
H
j,s
(r, r0, η, ξ) r
H
j1
S
0
, η, ξ) r
n+1
(r, rs, η, ξ) r
N−1
n+1
N−1
0
0
N−1
0
0
g
n+1
1
(η)
g
1s
(η)
g
2s
1
(η)+
!
dS
g
0
0
(η)+
,
где
(17.12)
˜g
n+1,l
+
(r, rs, η, ξ)=
H
j,s
∞
l + N/2 − 1
N/2 − 1
l=0
188
C
N/2−1
l
(η, ξ) H
∗
j,s,l
(r, rs) .
17.2 Задачи сопряжения и операторы преоб-
разования
Пусть B0- единичный шар из RN,B0=)x ∈ RN: x2≤ 1,. Рассмотрим модельные задачи Дирихле в B
Δˆu
= g0(η) ,η∈ S0;
ˆu
0
Δˆu
n+1
= g
ˆu
n+1
Δˆu
jq
= gjq(η) ,η∈ S0.
ˆu
jq
Если функции g
(η) ,g
0
(η) ,gjq(η) непрерывны на соответствую-
n+1
щих сферах, то решение каждой из указанных задач существует, единственно и находятся по формуле Пуассона для шара. Основную формулу
(17.14) можно переписать в виде:
u = P
где P
0,Pn+1,Pjq
P
:ˆu0→ u0,u0(r, η)=
0
(r, η)=
u
0,j
P
:ˆu
n+1
n+1,j
→ u
(r, η)=
n+1
u
[ˆu0]+P
0
n+1
операторы преобразования:
n+1
&
χ (Vk) u
k=0
∞
l + N/2 − 1
N/2 − 1
l=0
N/2−1
C
l
S
0
∞
l + N/2 − 1
N/2 − 1
l=0
(r, η)=
n+1,un+1
N/2−1
C
S
0
l
(η, ξ)ˆu
:
0
=0,x∈ B0,
0
=0,x∈ B0,
(η) ,η∈ S0;
n+1
=0,x∈ B0,
2
n
]+
0,k
∗
1,j,l
s=0
j=1
(r, η) ,
(r, r0) r
Pjs[ˆujs] ,
[ˆu
n+1
H
(η, ξ)ˆu0(r, η) dS0;
n
+1
&
k=0
H
∗
j,n,l
χ (Vk) u
n+1
n+1,k
(r, r
n+1
(r, η ) dS0,
) r
N−1
0
−l
r
(r, η) ,
N−1
n+1
0
1
0
−l
r
1
189
атакже:,
∞
u
1s,j
u
2s,j
(r, η)=
(r, η)=
l + N/2 − 1
l=0
C
·
S
0
∞
l + N/2 − 1
l=0
C
·
S
0
∗
H
N/2 − 1
N/2−1
l
N/2 − 1
N/2−1
l
j,s,l
(η, ξ)ˆu1s(r, η) dS
∗
H
j,s,l
(η, ξ)˜u2s(r, η) dS0.
(r, rs) r
(r, rs) r
N−1
s
N−1
s
01
−l
r
0
0
−l
r
1
Из условий (17.9)неограниченной разрешимости следует
·
·
Теорема 17.1 . Пусть P
u
0,Pn+1
:ˆu
n+1
→ u
n+1,Pjs
0,Pn+1,Pjq
операторы преобразования P0:ˆu0→
:ˆujs→ ujs. Тогда функции u0,u
кусочно- гармонические в Bn, причем их компоненты u
- функции непрерывные в шаровом слое Vk.
n+1,ujq
0,k,un+1,k,ujq,k
190
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]