Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Операторы преобразования для краевых задач, интегральных представлений и восстановления зависимостей
.pdf
25.2 Краевые задачи для бигармонических
функций в шаре.
Лемма 25.1 . Пусть f - функция, гармоническая в шаре B0⊂ Rm.
Решение уравнения Пуассона
Δv = f (x),x∈ B
,f ∈ H
0
α−2
(B0) ,α≥ 2,
2
удовлетворяющее граничному условию
1
α−
v (η)=g (η) ,η ∈ S
,g ∈ H
0
2
(S0) ,α≥ 2,
2
имеет вид:
1
v =
2
причем v ∈ H
2
x
− 1·
α
(B0) ,α≥ 2.
2
m−1
ε
f (εx) dε +
0
P (x, η) g (η) dS0,
S
0
1
Рассмотрим систему сепаратных бигармонических уравнений
2
ui=0,x∈ B
Δ
,i=1, ..., n +1
i−1
в классе функций
u = u (x) ,
n+1
u ∈ H
где χ (B
α
+
(B
) ,α≥ 4,u(x)=
2
n
) -характеристическая функция множества B
k−1
&
k=1
χ (B
) uk(x) ,
k−1
k−1
ными условиями
1
α−
(η)=f (η),η ∈ S0,f ∈ H
u
1
2
(S0) ,α≥ 4 ,
2
, с гранич-
(η)=g (η),η ∈ S0,g ∈ H
Δu
1
и условиям сопряжения на гиперсферах S
(ξ)=u
u
i
l
iΔui
i+1
(ξ)=Δu
(ξ) ,kiL
(ξ) ,miL
i+1
m−2
[ui(ξ)] = L
2
m−2
2
m−2
2
[Δui(ξ)] = L
241
5
α−
2
(S0) ,α≥ 4
2
:
i
[u
(ξ)] ,ξ∈ Si;
i+1
m−2
[Δu
2
(ξ)] ,ξ∈ Si.
i+1
Заметим, что функции Δuiявляются решением задачи Дирихле для
уравнения Лапласа в кусочно-однородном шаре:
Δ(Δu
)=0,x∈ B
i
,i=1, ..., n,
i−1
с граничными условиями
(η)=g (η)(25.1)
Δu
1
и условиями сопряжения
l
iΔui
(ξ)=Δu
(ξ) ,miL
i+1
m−2
[Δui(ξ)] = L
2
m−2
[Δu
2
(ξ)] ; ξ ∈ Si.
i+1
(25.2)
n+1
Применим к кусочно- гармонической функции Δu =
Δu
(x) оператор преобразования J, порождаемый краевой задачей (25.1)-
k
&
k=1
χ (B
(25.2).
По формуле Пуассона для шара имеем:
J [Δu](x)=
P (x, η) g (η) dS0,
S
0
где P (x, η)− ядро Пуассона для шара. Из формулы (25.3) найдем:
Δu (x)=
J−1[P (x, η)] g (η) dS0.
S
0
В итоге для неизвестной кусочно-гармонической функции Δu имеем
краевую задачу о решении сепаратной системы уравнений Пуассона
k−1
) ·
Δu
(x)=
i
J−1[P (x, η)] g (η) dS0,x∈ B
S
0
по граничному условию
(η)=f (η),η∈ S
u
1
и по условиям сопряжения
242
,i=1, ..., n (25.3)
i−1
0
(25.4)
ui(ξ)=u
(ξ) ,kiL
i+1
m−2
[ui(ξ)] = L
2
m−2
2
[u
(ξ)] ,ξ∈ Si,i=1, .., n.
i+1
(25.5)
Для нахождения неизвестной кусочно-гармонической функции Δu
применим оператор сглаживания Y, порождаемый краевой задачей (25.3)(25.4). Учитывая, что операторы Y, |x|
2
·Δ и Γ коммутируют, для функ-
ции v = Y [u (x)] имеем задачу Дирихле о решении уравнения Пуассона
⎤
⎦
0
,x∈ B
0
Δv = |x|
−2
· Y
⎡
2
⎣
·
|x|
J−1[P (x, η)] g (η) dS
S
0
по краевому условию
v (η)=f (η),η ∈ S
.
0
Из леммы 25.1. следует, что
v =
P (x, η) f (η) dS0+
S
0
⎡
⎣
|x|
2
·
J−1[P (x, η)] g (η) dS
S
0
1
2
1 −|x|
−2
−1
· L
· Y
m−2
⎤
⎦
,
0
и, значит, неизвестное решение рассматриваемой краевой задачи имеет вид:
−1
u = Y
[v] .
243
Глава 26
Операторный метод для
функций, обобщенно
кусочно-плюригармонических в
областях класса (Т)
26.1 Постановка задачи
Перенесем результаты предыдущих параграфов на случай многих переменных. Пусть Ω выпуклая полная ограниченная кратно-круговая с
центром в начале координат область класса (Т). Задачи линейного сопряжения в классе плюригармонических функций на гиперповерхностях
гомотетичных ∂Ω не ставятся из-за эффекта принудительного продолжения [26]. В дальнейшем мы предлагаем рассматривать задачи линейного
сопряжения в классе обобщенно-плюригармонических функций.
Теорема [10]. Выпуклая полная ограниченная кратно-круговая с
центром в начале координат область Ω класса (Т) есть единичный шар
по некоторой норме z
Примем обозначение
.
Ω
где r
0,r1,r2
= {z ∈ Cn: r
Ω
j
, ..., rn,r
< zΩ<rj},j =0, ..., n,
j+1
- точки на [0, 1] , такие, что
n+1
244
r
r
i
1=r0>r1>r2> ... > rn>r
n+1
=0;
i+1
≤
r
0
,i=1, ..., n − 1.
r
i
Определение [26]. Функция u = u (z) называется обобщенно кусочно-
плюригармонической в области Ω
1. Функция u = u (z) бесконечно-дифференцируема в Ω
2. Для каждого z ∈ Ω
срез-функция uz= u (λz) гармонична в кольце
j
,j =0, ..., n, если:
j
,j =0, ..., n.
j
{λ : r
< |λ| <rj},j =0, ..., n.
j+1
Для функции u = u (z) ограниченной и плюригармонической в обла-
сти Ω, положим:
2
[u]=χΩ(z) u (z)+χΩ(z) hiuz · r
Γ
i
(z) - характеристическая функция множества Ω. Оператор, обрат-
χ
Ω
ный к Γ
, действует на функцию g ограниченную и плюригармоническую
i
,i=1, ..., n, 0 <h
i
< 1, (26.1)
i
в области Ω по правилу:
∞
−1
Γ
i
Произведение операторов Γ
. Из формулы (26.1) получим выражение для обратного оператора
... · Γ
1
−1
:
Γ
∞
−1
Γ
[g]=
k=0
(−1)
k
[g]=
k=0
hkgz · r
khk
(−1)
, ..., Γnобозначим символом Γ, Γ ≡ Γn·
1
2k
,h
k
= h
gz · r
k
2k
i
1
· ... ·h
. (26.2)
n
k
n
,r2k=
5
i=1
Пусть функция u = u (z) кусочно-плюригармоническая в области Ω
:
n
+
=
Ω
n
Ωj, Ωj= {z : r
U
j=0
< zΩ<rj},j =0, ..., n,
j+1
причем на гиперповерхностях сопряжения выполнено условие:
2k
i
r
.
i
+
n
−
(η)=u+(η) ,
u
∂
k
u−(η)=
i
∂n
∂
u+(η) , ηΩ= ri; i =1, ..., n,
∂n
245
(26.3)
ki- действительное, где u−(η) ,u+(η) - предельные значения функ-
ции u = u (z) извне и изнутри области z
∂
u−(η) ,
∂n
∂
u+(η) - предельные значения нормальной производной функ-
∂n
<ri, соответственно, а
Ω
ции u = u (z). Оператор сглаживания для гиперповерхности сопряжения
= riопределим равенством:
z
Ω
L
i
[u]=χ
−
(z)kiu (z)+
E
i
1 − k
2
i
u
z · r
z
2
Ω
2
i
!!
+χ
k
i
+
(z)
E
i
где
,
+
=)z : z
E
i
2
Ω
<r
,E
i
Операторы, обратный к оператору L
L
−1
[g]=χ
i
1
−
(z)
E
i
k
g (z) −
i
Произведение операторов L
1 − k
i
1+k
i
, ..., Lnобозначим через L, L ≡ Ln·...·L1.
1
Обратный к оператору L имеет вид L
−
=)z : z
i
, имеет вид:
i
z · r
g
z
−1
= L
2
i
2
Ω
!!
−1
1
2
Ω
+ χ
· ... · L
>r
+
E
i
−1
n
i
(z)
.
Приведем важнейшие свойства операторов сглаживания.
1. Оператор L функции f, кусочно-плюригармонической в Ω
+
ставляет функциюˆf = L [f] плюригармоническую в Ω
.
n
2. Справедливо равенство
2
L [f ]=Γ[f], η
Ω
=1,
при этом в выражении для оператора Γ положено
1 − k
h
= −
i
1+k
i
,i=1, ..., n.
i
+1
u (z), (26.4)
2
,
.
2
ki+1
g (z);
(26.5)
+
, сопо-
n
26.2 Формула Темлякова-Пуассона
Формула Темлякова-Пуассона в случае кусочно-однородной области класса (Т) решает следующую задачу: найти функцию u = u (z) , обобщенно
плюригармоническую в кусочно- однородной области Ω
ее граничному значению u = u (η) и условиям сопряжения
246
+
класса (Т) , по
n
u−(η)=u+(η) ,
∂
k
i
∂n
u−(η)=
∂
u+(η) , ηΩ= ri; i =1, ..., n .
∂n
Оператор Γ ·L переводит поставленную задачу к соответствующей задаче для однородной области Ω. Применив формулу Темлякова-Пуассона
[30], найдем:
u (z)=
(n − 1)!
n
(2π )
L−1· Γ
−1
∗
u (ς) Re2
dτ
¯
Δ
n
1 −7τ,
1
zr
2j
ς
8
n
− 1!dωθ.
Следствие 26.1. Выпишем в явном виде формулу Темлякова-Пуассона
с одной гиперсферой сопряжения z
= r;0 <r<1 :
Ω
⎧
⎪
⎪
u (z)=
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
2k
k+1
z
∞
&
j=0
&
j=0
Ω
h
∞
<r,
(n−1)!
j
(2π )
j
h
∫
n
−h ·
r<z
(n−1)!
n
(2π )
∗
u (ς) Re2
dτ
¯
Δ
n
⎛
1−
τ,
< 1;
∗
u (ς) Re2
1
n
2j+2
zr
2
z
ς
Ω
⎝
2
Ω
∫
dτ
¯
Δ
n
1−
− 1
1−
τ,
⎞⎠⎞
⎠
τ,
1
− 1−
n
2j
zr
ς
,
dω
θ
1
− 1dωθ,
n
2j
zr
ς
где
h =
1 − k
1+k
247
.
Глава 27
Интегральные уравнения теории
интерпретации результатов
косвенных наблюдений
27.1 Ретроспективная задача для уравнения
теплопроводности.
Рассмотрим задачу о структуре температурного поля, когда неизвестным является первоначальное распределение источников, порождающее
заданное распределение температуры в бесконечном кусочно-однородном
стержне D
решения сепаратной системы (n+1) уравнений параболического типа
по начальным условиям
+
=(0, ∞)×In. Указанная задача возникает в связи с поиском
∂
∂t
2
∂
−
∂x
(t, x)=0, (t, x) ∈ D+, (27.1)
u
j
2
(t, x) |
u
j
по краевым условиям
|
u
1
x=−∞
и условиям сопряжения
= fj(x) ,x∈ In, (27.2)
t=0
=0,u
248
n+1
|
=0 (27.3)
x=∞
∂
k
α
m1
∂x
x = l
здесь u(t,x) - неизвестная функция, f
k
k
k
,β
α
mi
mi
,γ
mi
k
,δ
- заданные действительные числа, при которых вы-
mi
k
+ β
u
m1
,k=1, ..., n; m =1, 2,
k
=α
k
k
m2
∂x
(x) - заданная функция,
i
+ β
k
m2
, (27.4)
u
k+1
∂
полнено условие (6.6) неограниченной разрешимости задачи (27.1)-(27.4).
Решение задачи (27.1)-(27.4) имеет вид:
n+1
l
s+1
(t, x)=
u
k
s=1
Hks(t, x, ξ) · fs(ξ) dξ, (27.5)
l
s
где
∞
(t, x, ξ)=
H
ks
∗
ϕ, ϕ
- собственные функции соответствующих прямой и двойствен-
ϕk(x, λ) · ϕ
0
∗
(ξ,λ) e
s
−λ2t
dλ, k,s =1, ..., n +1,
ной задач Штурма- Лиувилля [9].
Пусть неизвестным является-
n
f (x)=
θ (x − l
k=2
) θ (lk− x) fk(x)+ θ (l1− x) f1(x)+θ (x − ln) f
k−1
n+1
(x) −
первоначальное распределение источников, порождающее заданное
распределение температуры в момент времени t = τ :u(τ,x) .
Для определения f (x) имеем сепаратную систему интегральных урав-
нений:
n+1
l
s+1
Hks(τ,x,ξ) · fs(ξ) dξ = uk(τ,x) . (27.6)
l
s
s=1
В случае однородной среды система уравнений (27.6) принимает вид:
4τ
!
2
·ˆf (ξ) dξ =ˆu (τ, x). (27.7)
∞
−∞
1
2√πτ
exp−
(x − ξ)
249
Как следует из [18], решение уравнения (27.7) выражается формулой:
(0) τ
j !
j
2
H
x
j
, (27.8)
2√τ
здесь H
∞
(j)
ˆ
f (x)=
- система классических ортогональных функции Эрмита
j
ˆu
j=0
[19]. Для решения системы интегральных уравнений (27.6) применим метод операторов преобразования [5].
−1
Прямой J :ˆf → f и обратный J
: f →ˆf операторы преобразования
определим, следуя [5], равенствами:
iλξ
∞
−iλξ
e
−∞
∞
ϕ∗(ξ,λ) f (ξ) dξ dλ.
−∞
ˆ
f (ξ) dξ dλ,
f (x)=
ˆ
f (x)=
∞
ϕ (x, λ)
−∞
∞
e
−∞
Введем обозначения для преобразования Фурье на кусочно-однородной
действительной оси
∞
: f (x) →˜f (λ)=
F
n
ϕ∗(x, λ) f (x) dx.
−∞
Определим аналоги системы функций Эрмита на кусочно-однородной
действительной оси:
(x)=
H
j,n
∗
(x)=
H
j,n
Лемма 27.1 . Функции H
j,n
−∞
−∞
(x) H
∞
∞
ϕ (x, λ) H
ϕ∗(x, λ) H
∗
j,n
√
2
τλdλ,
j
√
2
τλdλ
j
(x) образуют биортогональную си-
стему функций на кусочно-однородной действительной оси.
Доказательство. Имеем равенство:
∞
H
(x) H
j,n
∞
∞
=
−∞
−∞
−∞
ϕ (x, λ) Hj(λ) dλ
250
∗
k,n
(x) dx =
∞
ϕ∗(x, β) Hk(β) dβdx.
−∞
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]