Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Операторы преобразования для краевых задач, интегральных представлений и восстановления зависимостей
.pdf
Рассмотрим алгебру U ==G0(˜Sq); ⊕, >, она порождается элементами ϕ({1, 2}),ϕ({1, 3}),ϕ({1, 4}),ϕ({1, 2, 3, 4}), ,гдеϕ определено в (31.14).
Тогда множеством всех элементов U является
{(1,...,1), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (0, 0, 1, 2), (0, 1, 0, 1), (0, 1, 1, 0)}.
Отсюда следует, что задача Z не эффективно отделима. Докажем, что
˜
любая классификация
S4, реализуется некоторым оператором из L{R}.
Для этой цели требуется доказать две леммы.
t
Определение 31.13. Допустимые объекты S
изоморфными, если для некоторых i
Пусть задана произвольная выборка˜S
будет ρ(k0,t,i0)=ρ(k0,v,i0).
0,k0
q
.
Теорема 31.4 Для всякой классификации (˜S
что˜S
из˜S
является множеством всех (J, k)-изоморфных (попарно)объектов
1
q
, в классе L{R1} существует оператор, реализующий (˜S1,˜S2).
bf Доказательство. Пусть дана классификация (˜S
i
1
что˜S
S
ρ(k
=(S
1
q
˜
. Т. е. для некоторых i = i0и k = k0существует r ≥ 0 такое, что
)=...= ρ(k0,ip,i0)=r.
0,i1,i0
Обозначим r
В качестве оператора, реализующего (˜S
∈{R1},i=1, 2,..., где Ri= R(γi,pi,i,xi).
R
1,Ri
Параметры R
1/Q(m − 1), i =1, 2,...,i
1, 2,...,k
1
r, x
− 1,k0+1,...,n;
0
= r0,x1=(0, 1) в случае S
i
,...,S
p
) - класс всех попарно (J, k)-изоморфных объектов
=max{ρ(k0,j,i0), −1 | j ∈{i1,...,ip},ρ(k0,j,i0) <r}.
0
,˜S2) , рассмотрим R = R2−
1
1
: γ
1
= Q, γ1=(γ
i
(0)
− 1,i0+1,...,m; p
0
1
= r0,x1=(1, 0) в случае S
k
0
1
,...,γ
1
∈ C˜Kj; в обоих случаях
i
0
и Svназовем (J, k)-
,˜S2) выборки˜Sqтакой,
1
,˜S2) выборки˜Sqтакая,
1
1
),p1=(p
m
1
1
,p
k
k
0
1
1
,...,p
1
n
),γ
=1/Q2(n − 1),k =
∈˜Kj;
i
0
1
(k = k0)
k
1
i
1
k
0
произвольно.
Параметры R
2
˜
;
K
= r, x2=(1, 0) в случае S
j
k
0
: γ2= γ1,p2= p1,
2
1
= r0,x2=(0, 1) в случае S
k
0
∈˜CKj; k(k = k0) произвольно. Как
i
0
i
0
следует из построения оператора R, его оценки удовлетворяют условиям
=
=
∈
Q =
| Γ(S
1
Q
v
−
) |≤
3
Q
1
Q
≤ Γ(Sv) ≤ Q +
1
+
3
Q
1
Тогда оператор R реализует (˜S
2
еслиv∈{
,
Q
,...,ip}
i
1
, если v∈{i1,...,ip}.
,˜S2) при надлежащем выборе Q.
1
321
,
Лемма 31.2 Для всякой выборки˜Sqи любого i =1, 2,...,q классифика-
i
ция ({S
},˜Sq\{Si} реализуется некоторым оператором из класса L{R1}.
bf Доказательство. Рассмотрим произвольное множество K состоящее
i
из (J, k)-изоморфных объектов, включающее S
i
}, то доказательство вытекает из леммы 2. Пусть K = {Si,S
{S
; тогда, в силу условия регулярности задачи Z(I
парно изоморфны относительно I
и, следовательно, существует последо-
0
,i=1, 2,...,q. Если K =
j
1
,˜Sq) , объекты из K по-
0
,...,S
j
вательность пар индексов
(i
1,k1
,...,k
k
1
такая, что ρ(k
Пусть (K)
),...,(i
∈{1, 2,...,n} χ≤ χ,
χ
t,it,jt
=(K1,...,K
t
,k
),i1,...,i
χ
χ
) = ρ(kt,it,i),t =1, 2,...,χ.
) - последовательность множеств (J, k)- изо-
χ
∈{1, 2,...,m}, (31.19)
χ
морфных объектов, соответствующих последовательности (31.19). Определим подпоследовательность (K)
Шаг 1. Первый член K
оставим без изменения. Исключим из (K)
1
те элементы Kv,v =2, 3,...,χ, для которых S
следующим образом.
t
j
v
∈ K1, если такие суще-
ствуют. В результате получим подпоследовательность последовательно-
K
t
:
1
,K
1
,...,K
t
1
1
,χ1≤ χ− 1, 1 ≤ t
t
χ1
1
≤ ...≤ t
1
1
χ1
≤ χ.
сти (K )
Шаг p +1. Для полученной на p-м шаге последовательности
K
1
,K
1
,...,K
t
1
p
,...,K
t
1
p
t
χ
p
χ
)
t
исключим элементы K
p
,...,t
2
p
}, если такие существуют.
χ
p
t ∈{t
p
,j =1, 2,...,χp, у которых St∈ K
t
j
В конечном итоге получаем искомую подпоследовательность (K)
1
,K
(K
K
,...,K
1
t
1
1
∪ K
1
t
1
По лемме 31.2, найдется последовательность операторов R, R
s
),гдеs ≤ χ ≤−1. В силу построения (K)
t
1
∪ ...∪K
s
.
t
1
p
,
t
1
имеем Si=
t
,...,R
1
t
(выбранная способом, изложенным в доказательстве леммы 31.3), реализующих, соответственно, классификации
,˜Sq\ K1), (K
(K
1
1
,˜Sq\ K
t
1
1
),...,(K
t
1
s
,˜Sq\ K
t
1
s
).
t
1
322
=
s
Тогда в качестве оператораˆR , реализующего ({Si},˜Sq\{Si}) выберем
s
ˆ
R = R −
v−1
R
v
Действительно, его оценки удовлетворяют неравенствам
Γ(S
| Γ(S
i
) ≥ Q −
v
) |≥
1
Q
2
+
Q
1
+
1
Q
(s +1).
3
Q
(s +1),v = i, v =1, 2,...,q.
3
Лемма 31.3 доказана.
Перейдем к доказательству теоремы. Все классификации выборки˜S
, разбивающие ее на две равные по количеству элементов части, реализуются операторами из L{R
i
}) реализуются в L{R1} по лемме 31.3. Таким образом, L{A} кор-
{S
ректно для задачи Z(I
} по лемме 31.2. Классификации ({Si},˜S4\
1
,˜S4). Теорема доказана.
0
4
323
Глава 32
Нижние границы емкости
L-мерных алгебр алгоритмов
вычисления оценок
Для наиболее употребительных признаковых пространств получены полиномиальные нижние оценки емкости алгебры вычислимых операций
над классом алгоритмов вычисления оценок. Как следует из установленных ранее автором верхних оценок, приводимые оценки асимптотически
не улучшаемы.
Сохраним терминологию, принятую в [14]. В работе [14] получены
верхние оценки емкости модели алгоритмов M
G
[(ˆM
i
1
)F] ≤ [1 + i(n, m, L)] i(n, m, L). (32.1)
G
где M
L →∞,θ
Δ
M
= R(n),M2- произвольное пространство, i(n, m, L) → 0,n,m,
1
(n, m, L)=(2mL)n,θ2(n, m, L)=(L +1)mn.
1
Естественным образом возникает вопрос о построении нижних оце-
i
нок для Δ
является ли достижимой граница θ
Поставим задачу - показать, что θ
кости модели U
=< R; {f } > , содержащая в качестве главных операции сложения,
U
0
[(ˆM)F] достаточно близких к границе (32.1), в частности:
M
(n, m, L).
i
(n, m, L) - нижняя граница ем-
LU
{M} , если U = U0- алгебра вычислимых операций
i
умножения и вычитания:{f }⊃{+, −, ×}.
324
32.1 Максимальный индекс системы событий
Пусть ∧ = ∧(˜M) - пространство параметров, задающих алгоритм модели
q
M,иC1
емая алгоритмом A. Обозначим
[A] - классификация выборки˜Sqв пространстве M реализу-
M
(˜Mq, ∧)={C1
C1
M
Всякий решающий алгоритм A ∈M
q
[A] | A ∈˜M}.
M
может быть рассмотрен, как
G
функция двух аргументов: A = A(S, α),гдеα ∈∧,S ∈ M, т.е.
A : M ט∧→{0, 1, Δ}.
Тогда будем говорить, что модель˜M индуцирует систему событий T(∧)
, если
T(∧)={T
| α ∈˜∧},Tα= Tα[˜M]={(S, J) | A(S, α)=J, A ∈˜M}.
α
Индексом системы событий T(∧) назовем число элементов множества
классификаций C1
Положим˜M = U
есть Z F - подмодель модели (˜M1)0; тогда верна
(˜A)
F,1
Теорема 32.1 Если все объекты выборки˜S
(˜Sq, ∧) :
M
M
(˜Sq)=| C1M(˜Sq, ∧) | .
Ind
T
L,U
{M1}≡{˜M1}0и F0= F
F
0
,и пусть M
U
0
q
в задаче Z(Im,˜Sq) име-
Z,L
F,1
(A)=
ют попарно различные спектры близости относительно Z F подмодели
,то
(A)
F,1
M
(˜Sq)=2q. (32.2)
Ind
T
0
Доказательство. Покажем, что любая классификация выборки˜S
реализуется некоторым алгоритмом из (ˆM1)0.
Пусть задан вектор-алгоритм A =(A
подмодель (˜A)
пары объектов S
G
,гдеAj= A(j),j=(
,1
F
Z,L,t
M,U
t,St
(B) = G
∈˜S
q
Z,L,t
M,U
(B),B = F (B1,...,BL),F≡F0,
,...,AL) , порождающий Z F -
1
j
,...,
1
j
),j= R
n
n
, и для всякой
+
q
т.е. существуют j
такие, что
∈{1, 2,...,L},k0∈{1, 2,...,n},i0∈{1, 2,...,m},
0
G
t
i0k
0
(j0) = G
t
(j0). (32.3)
i0k
0
325
Определим последовательность из L операторов˜B1,...,˜BLс пара-
j
метрами ˜γ
, ˜ρj, ˜j, ˜xj, j =1, 2,...,L,˜Bj∈R1:
j
j
ρ
=(ρ
,...,ρ
1
j
j
γ
=(γ
,...,γ
1
j
=(1, 1), ˜j= j.
x
j
j
),ρ
=1/2i,i=1, 2,...,n,
n
i
j
j
),γ
m
v
=1/2
(v−1)jn
Докажем, что оценки всех объектов S
ром
L
j=1
˜
B
j
˜
B =
попарно различны, т. е. для всякой пары t, t
,˜B). Действительно
(Γ
tj
(Γ
=
,˜Bj)=
tj
m
v=1
G
G
m
=
v=1
(j−1)mn+(v−1)n
1
2
t
(j) ... G
11
... ... ...
t
(j) ... G
n1
j
j
ρ
γ
G
1
v
t
1m
t
nm
t
(j)+...+ ρ
v1
#
n
i=1
(j)
(j)
1
2
Следовательно,
,v =1, 2,...,m,
t
∈˜Sq, доставляемые операто-
,
∈{1, 2,...,q}будет (Γtj,˜B) =
j
n
i
G
G
γ
1
...
j
γ
m
t
(j)=
vn
t
(j)
vi
j
j
(ρ
1
,...,ρ
j
n
)=
$
,˜Bj)=
(Γ
tj
=
...+
"
n
i=1
"
1
2
G
n
i=1
t
(1) +
1i
1
2
t
G
1i
n
1
2
i=1
i+(L−1)mn
G
t
(1)
2i
i+1
+ ···+
+ ...+
n
i=1
n
i=1
1
t
G
mi
2
В двоичной записи получаем величину оценки
,˜B)=0, G
(Γ
tj
t
(1) ...G
1
t
(1) ...G
m
t
(j) ...G
1
t
(j) ...G
m
326
t
G
mi
i+(m−1)n
(1)
t
(L) ...G
1
1
2
1+n(m−1)+(L−1)mn
t
m
%
+
%
.
(L),
где G
t
(j)=(G
v
t
(j) ...G
v1
t
), j =1, 2,...,L,v =1, 2,...,m,t=1, 2,...,q.
vn
Так как выполняется неравенство (32.3), то (Γ
скольку в двоичной записи этих величин, где
(Γ
,˜Bj)=0, G
tj
i
-разряды не совпадают.
0k0j0
t
(1) ...G
1
t
(1) ...G
m
t
(j) ...G
1
Пусть дана произвольная классификация (˜S
nj
, определяемая из условий: объекты S
∈Kj,Sυ∈ CKj, υ = nj,j =
1, 2,...,d.
Рассмотрим многочлен
5
F
b1...b
(x)=
d
t∈(n1,...,nd)
t∈(1,2,...,q)
(x − bt), где bt=(Γ
Нетрудно видеть, что
q
S
[ˆA]=(˜Sq; n1,...,nd),ˆA =ˆB ◦ C,ˆB = DF
C1
R(n)
q
(˜B)) =
d
5
(bi− bj)2.
i,j=1
i=j
t∈(n1...nd)
C
2
D =
D
1
Действительно, в случае t
(Γ
t0j
Отсюда (Γ
,˜B)=b
t0j
, (Γ
t
t0j
0
,˜B)=0. В случае t0∈{n1,...,nd} (Γ
,D1=
∈{n1,...,nd}
0
2
,F
...b
b
1
отсюда
q
5
i,j=1
i=j
(bi− bj)2]
(Γ
,˜B)=
t0j
C
D
2
1
5
t∈(n1...nd)
(b
− bt)2= C2[
t
0
Но
q
[
i,j=1
5
i=j
(bt− bj)2]
−1
t∈(n1,...,nd)
5
(bi− bj)2=[
j∈(n1,...,n
,˜B) =Γtj,˜B),по-
tj
t
(j) ...G
m
t
(L) ...G
1
q
; n1,...,ndвыборки˜Sq)
˜
B).
ij
L
2
(
...b
b
1
d
r=1
5
(b
− bt)2=0.
t
0
2
,F
t0j
b
...b
1
5
−1
t∈(n1...nd)
(b
5
(bi− bj)2]−1> 1.
d
i=j,t
0
t
(L)
m
Br),
(˜B)) > 0,
d
− bt)2.
t
0
Следовательно, (Γ
Теорема доказана.
,˜B) >C2. Так какˆA ∈ (˜M1)0, то получаем .
t0j
327
32.2 Нижняя граница емкости алгебры алго-
ритмов в пространстве M
Рассмотрим признаковое пространство M
0
M
=< Rm,ρv>, v =1, 2,...,n,ρv(x, y)= max
v
Теорема 32.2 Емкость модели алгоритмов (˜M
0
= M
0
0
× ...×M
1
1≤i≤m
в пространстве M
1)0
ограничена снизу.
0
[(˜M1)0] ≥ (L +1)mn.
Δ
M
Лемма 32.1 Существуют регулярная задача Z = Z(I
mn
выборки q =(L +1)
два объекта S
t,St
и вектор-алгоритм A∈M
∈˜Sq,t = t, имеют в пространстве M0различные
спектры близости относительно ZF-подмодели R
B = F (B
,...,BL):
1
G
Z,L,t
0U0
M
(B) = G
Z,L,t
M0U
(B).
0
Доказательство. Осуществим построение выборок˜S
L
, такие, что любые
1
Z,L
0
U
m
образом:
L +1
L
L +1
m
),
k
=(a
S
vk
v1
k
a
=0,i= v, v, i =1, 2,...,m.
vi
k
S
1 ≤ r
=(
...r
r
m
1
≤ L +1,i =1, 2,...,m,ri∈ N.
i
,...,a
L − r
L +1
k
),a
vm
L − r
1
,
L +1
2
,...,
k
vv
=1+
L − r
Пусть задано множество всех таких элементов
0
:
n
| xi− yi| .
,˜Sq) с длиной
m
(B) ≡ (ˆB)
U
0
, где
и˜Sqследующим
,
0
k
N = {S
Занумеруем натуральными числами от 1 до (L +1)
вида
k
где S
Полученная последовательность объектов образует искомую выборку
q
˜
S
=(S1,...,S
∈Nдля всякого k =1, 2,...,n.
k
k
...r
r
m
1
(L+1)mn
1,n
S
r
1
).
| 1 ≤ r1≤ L +1,r1∈ N}.
...r
r
m
1
1
...r
m
=(S
,...,S
1
1
...r
r
m
1
mn
все объекты
n
), (32.4)
n
n
...r
r
m
1
328
Порядок нумерации объектов (32.4) здесь несуществен. Далее пусть
=(Sv1,...,Svn),v =1, 2,...,m. Информационные векторы α(Sv) про-
S
v
извольны. Построение Z(I
Вектор-алгоритм A =(A
= A(γj,ρj,j,xj),xj=(1, 1),j=(
A
j
j,ρj
γ
произвольны,
=1
L
L +1
j
k
,˜Sq) закончено.
m
,...,AL) определяется следующим образом:
1
L−1
=1+
,
k
L − 1
L +1
,...,
j
j
,...,
1
n
1
=1+(L +1)−1.
k
),
Рассмотрим произвольную пару объектов
1,n
t
Поскольку S
t
= S
S
t
= S
, то существует индекс k ∈{1, 2,...,n} такой, что
k
k
...υ
υ
m
1
k
S
k
...υ
υ
1
,St= S
= S
k
m
Отсюда хотя бы для одного υ =1, 2,...,m будет υ
k
k
>w
определенности υ
ρ(S
k
vk
w
1
k
,S
Рассмотрим функцию˜H
и
k
k
˜
(S
H
k
v
w
υ
...υ
v
1
. Тогда, по построению задачи Z(Im,˜Sq),
υ
υ
k
w
)=1+
k
...r
m
)=(1+
k
m
v
<ρ(S
L +1
k
(x)=ρk(Sik,x) −
ji
k
k
˜
H
(S
k
w
v
...w
w
v
1
k
υ
v
) − (1 +
L +1
k
k
...w
w
1
vk
)=0,
k
m
1,n
k
w
1
.
k
m
k
,S
k
υ
1
k
w
v
L +1
.
k
...w
m
)=1+
k
...υ
m
j
.Тогда
k
)=
k
υ
k
υ
v
L +1
= w
− w
k
υ
υ
L +1
k
v
. Пусть для
k
v
.
> 0,
Отсюда
t
(wk)=Sg
G
vk
где α = P
. Лемма доказана.
i
1−α
(˜H
k
k
(S
v
w
v
)) = Sg
k
k
w
...w
m
1
1−α
(˜H
k
w
Так как спектры близости объектов выборки˜S
то, по теореме 32.1, индекс системы событий Ind
k
(S
k
v
v
M
T
k
υ
...υ
m
1
q
попарно различны,
0
(˜Sq)=2q. Таким об-
0
)) = G
t
vk
разом, получаем
(v)
Δ
Теорема доказана.
0
[(˜M1)0] ≥ Δ
M
0
0
[ˆB)
M
] ≥ q − (L +1)mn.
U
329
32.3 Емкость алгебры алгоритмов в простран-
стве R(n)
Теорема 32.3 Емкость модели алгоритмов (˜M1)0в пространстве при-
знаков M = R(n) ограничена снизу:
0
[(˜M1)0] ≥ (2mL)n.
Δ
M
Для доказательства теоремы 32.3 осуществим построение регулярной
задачи Z(I
точности равна величине (2mL)
Как следует из теоремы 32.1, для этого достаточно показать, что все
объекты рабочей выборки˜S
тры близости. Этот факт будет получен в лемме 32.4, и доказательство
его опирается на ряд свойств (леммы 32.5 и 32.6) функций H
денных в [1 ].
,˜Sδ) и соответствующей ZF-подмодели, емкость которой в
m
n
(лемма 32.3).
δ
задачи Z имеют попарно различные спек-
k
(x), вве-
iv
Лемма 32.2 Существует регулярная задача Z = Z(I
n
(2mL)
,иZF- подмодель M
Δ
Z,L
(A) ≡ (ˆA)M, такие, что
0
U
0
[(ˆA
R(n)
]=(2mL)n.
U
,Sδ) , где δ =
m
Доказательство. Осуществим построение Z и вектор алгоритма A :
˜
=(S1,...,Sm),гдеSi,=(ai1,...,ain); A =(A1,...,A1) и Aj=
S
m
j,ρj,j,xj
A(γ
),гдеγj,ρjпроизвольные, xj=(1, 1),j=(
1, 2,...,L.
Пусть задана константа b =1.Тогдаa
Очевидно,
1
k
построения, a
>amk−a1kи a1k−
<...<amkи
1k
L
k
1
<...<
k
Прежде чем построить выборку˜S
,...,S
S
1k
= i + m,
ik
> 0 для всякого k =1, 2,...,n. В силу
L
.
k
δ
, определим последовательность
(2mL+1)k
j
j
,...,
1
j
= m + j/(L +1).
k
),j =
n
(32.5)
действительных чисел, удовлетворяющую следующим условиям. Пусть
q =2mL +1.
3m + L/(L +1)<S
3m +(L − 1)/(L +1)<S
,
qk
< 3m + L/(L +1),
(q−1)k
330
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]